If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Нули на многочлени и техните графики

Научи каква е връзката между даден многочлен и неговите нули, корени и ординатите на пресечните точки на графиката му с оста x. Научи за кратността на нулите на многочлен.

Какво ще научиш в този урок

Когато изучаваш многочлените, често ще чуваш термините нули, корени, множители и пресечна точка с оста x.
В тази статия ще проучим тези характеристики на многочлените и специалните отношения, които имат те помежду си.

Фундаментални връзки за полиномни функции

За един многочлен f и едно реално число k са еквивалентни следните твърдения:
  • x, equals, start color #01a995, k, end color #01a995 е корен или решение на уравнението f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0
  • start color #01a995, k, end color #01a995 е нула на функцията f
  • точката left parenthesis, start color #01a995, k, end color #01a995, ;, 0, right parenthesis е пресечната точка на графиката на функцията y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis с оста x
  • x, minus, start color #01a995, k, end color #01a995 е линеен множител на f, left parenthesis, x, right parenthesis
Да вземем като пример многочлена g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, който може да се представи и като g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis.
Виждаме, че линейните множители на многочлена g, left parenthesis, x, right parenthesis са left parenthesis, x, minus, start color #01a995, 3, end color #01a995, right parenthesis и left parenthesis, x, minus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, right parenthesis, right parenthesis.
Ако вземем g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 и намерим стойността на x, получаваме, че x, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995 или x, equals, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995. Това са решенията или корените на уравнението.
Нула на една функция е такава стойност на променливата x, за която стойността на функцията е 0. След като знаем, че x, equals, 3 и x, equals, minus, 2 са решения на g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, тогава start color #01a995, 3, end color #01a995 и start color #01a995, minus, 2, end color #01a995 са нули на функцията g.
Пресечната точка с оста x на графиката на y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis удовлетворява уравнението 0, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, което беше решено по-горе. Пресечните точки с оста x за уравнението са left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, ;, 0, right parenthesis и left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, ;, 0, right parenthesis.

Провери знанията си

1) Кои са нулите на f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 7, right parenthesis?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

2) Графиката на функцията g пресича оста x в точката left parenthesis, 2, ;, 0, right parenthesis. Колко е коренът на уравнението g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0?
x, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Нулите на функцията h са minus, 1 и 3. Коя от следните функции е h, left parenthesis, x, right parenthesis?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Нули и кратност на нулите

Когато един линеен множител се среща повече от веднъж в разложения вид на един многочлен, можем да определим кратността на съответната нула.
Например в многочлена f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscript числото 4 е start color #aa87ff, д, в, у, к, р, а, т, н, а, end color #aa87ff нула.
Забележи, че когато разложим f, left parenthesis, x, right parenthesis, множителят left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis е записан start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff пъти.
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, end color #aa87ff
Това означава, че когато решиш уравнението f, x, right parenthesis, equals, 0, ще получиш корен x, equals, 4 два пъти.
0=(x1)(x4)(x4)x1=0x4=0x4=0x=1x=4x=4\begin{aligned}0&=(x-1)\purpleC{(x-4)(x-4)}\\ \\ &x-1=0\qquad x-4=0\qquad x-4=0\\\\ &x=1\qquad \qquad \purpleC{x=4}\qquad \qquad \purpleC{x=4} \end{aligned}
По същество, ако x, minus, k се появява m пъти при разлагането на множители на един многочлен, то k е нула с кратност m. Нула с кратност 2 се нарича двукратна нула.

Провери знанията си

4) Коя нула на f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, cubed има кратност 3?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

5) Коя нула на g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, squared е двукратна нула?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Графично представяне

Кратността на една нула е важна, понеже ни показва какво поведение има графиката на многочлена около нулата.
Обърни внимание, че графиката на f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared се държи по-различно около нулата 1, отколкото около нулата 4, която е двукратна нула.
По-точно графиката пресича оста x в x, equals, 1, но само докосва оста x в x, equals, 4.
Нека разгледаме графиката на една функция, която има същите нули, но с различни кратности. Нека да разгледаме g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis. Забележи, че за тази функция 1 сега е двукратна нула, докато 4 е еднократна нула.
Сега виждаме, че графиката на g докосва оста x в x, equals, 1 и пресича оста x в x, equals, 4.
Като цяло, ако една функция f има нула с нечетна кратност, графиката на y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis ще пресича оста x за тази стойност на x. Ако функцията f има нула от четна кратност, графиката на y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis ще докосва оста x в тази точка.

Провери знанията си

6) За графично представената функция, кратността на нулата 6 четна ли е, или е нечетна?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

7) Коя е графиката на функцията h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Задача с повишена трудност

8*) Коя графика съответства на функцията f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, cubed, plus, 4, x, squared, minus, 4, x?
Избери един отговор:
Избери един отговор: