If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

9. клас (България)

Раздел 4: Урок 4

Брой на решенията на система линейни уравнения

Брой решения на система от уравнения преговор

Една система от линейни уравнения обикновено има едно решение, но понякога може да няма решение (при успоредни прави) или да има безкраен брой решения (когато е една и съща права). Тази статия разглежда всички три случая.
Едно решение. Система от линейни уравнения има едно решение, когато графиките им се пресичат в една точка.
Няма решение. Дадена система от линейни уравнения няма решение, когато графиките им са успоредни.
Безкраен брой решения. Дадена система от линейни уравнения има безкраен брой решения, когато графиките им са една и съща права.
Искаш ли да научиш повече за броя на решенията на системите от уравнения? Виж това видео.

Пример за система с едно решение

Трябва да намерим броя на решенията на тази система от уравнения:
y=6x+83x+y=4\begin{aligned} y&=-6x+8\\\\ 3x+y&=-4 \end{aligned}
Нека преобразуваме уравненията във вида уравнение на права по дадени ъглов коефициент и пресечна точка с оста y:
y=6x+8y=3x4\begin{aligned} y&=-6x+8\\\\ y&=-3x-4 \end{aligned}
Тъй като ъгловите коефициенти са различни, правите трябва да се пресичат. Ето графиките:
Тъй като правите се пресичат в една точка, има едно решение на системата от уравнения, представена графично от правите.

Пример за система без решение

Трябва да намерим броя на решенията на тази система от уравнения:
y=3x+9y=3x7\begin{aligned} y &= -3x+9\\\\ y &= -3x-7 \end{aligned}
Без да представяме графично тези уравнения, можем да видим, че и двете имат ъглов коефициент (наклон) minus, 3. Това означава, че правите трябва да бъдат успоредни. И тъй като пресечните точки с оста y са различни, знаем, че правите не са една върху друга.
Няма решение на тази система от уравнения.

Пример за система с безкраен брой решения

Трябва да намерим броя на решенията на тази система от уравнения:
6x+4y=23x2y=1\begin{aligned} -6x+4y &= 2\\\\ 3x-2y &= -1 \end{aligned}
Интересното е, че ако умножим второто уравнение по minus, 2, получаваме първото уравнение:
3x2y=12(3x2y)=2(1)6x+4y=2\begin{aligned} 3x-2y &= -1\\\\ \blueD{-2}(3x-2y)&=\blueD{-2}(-1)\\\\ -6x+4y &= 2 \end{aligned}
С други думи уравненията са еквивалентни и споделят една и съща графика. Всяко решение, което става за едното уравнение, ще става също и за другото, така че има безкраен брой решения на системата.

Упражнения

Задача 1
Колко решения има системата от линейни уравнения?
y=2x+47y=14x+28\begin{aligned} y &= -2x+4\\\\ 7y &= -14x+28 \end{aligned}
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Искаш ли още упражнения? Виж тези упражнения: