If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

9. клас (България)

Курс: 9. клас (България) > Раздел 4

Урок 6: Решаване на системи линейни уравнения чрез събиране.
Математика
9. клас (България)
Системи линейни уравнения с две неизвестни
Решаване на системи линейни уравнения чрез събиране.
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Системи от уравнения с елиминиране

Класна стая на Google
Разглеждане на примери за решаване на системи от уравнения с елиминиране.
В тази статия ще разгледаме как се решават системи от линейни уравнения с така наречения метод на елиминиране. Първо трябва да разберем, че няма проблем да съберем уравненията едно с друго.
Ключова идея: Всеки път, когато имаме две верни уравнения или равенства, можем да ги съберем или извадим, за да образуваме друго вярно уравнение или равенство.
Например ето две много прости верни равенства:
2, equals, 2
5, equals, 5
Можем да съберем тези равенства, за да образуваме друго вярно равенство:
2=2+    5=57=7
Или можем да извадим тези равенства, за да образуваме друго вярно равенство:
2=2−    5=5−3=−3
Ето друг пример с по-сложни уравнения:
2x+3=7+    4x+1=96x+4=16
Чудесно! Сега като виждаме, че няма проблем да събираме или изваждаме уравненията, можем да преминем към решаването на система от уравнения, като използваме метода на елиминиране.

Решаване на система от уравнения чрез метода на елиминиране

Ще решим тази система от уравнения като пример:
x, plus, 3, y, equals, 8, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, У, р, а, в, н, е, н, и, е, space, 1, end text, end color gray
4, x, minus, 3, y, equals, 17, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, У, р, а, в, н, е, н, и, е, space, 2, end text, end color gray
Трудното нещо при решаването е, че има две променливи x и y. Ако можехме да се отървем от едната променлива...
Ето една идея! Нека съберем двете уравнения, за да съкратим променливата y:
x+3y=8+    4x−3y=175x+0=25
Брилянтно! Сега имаме едно уравнение само с променливата x, което знаем как да решим:
5x+0=255x=25 x=5Раздели всяка страна на 5
Екстра! Нека използваме първото уравнение, за да намерим y, когато x е равно на 5:
x+3y=8Уравнение 15+3y=8Замести х с 53y=3Извади 5 от всяка странаy=1Раздели всяка страна на 3\begin{aligned} \blueD x + 3y &= 8&\gray{\text{Уравнение 1}} \\\\ \blueD 5 + 3y &= 8 &\gray{\text{Замести х с 5}}\\\\ 3y &= 3 &\gray{\text{Извади 5 от всяка страна}}\\\\ \greenD y &\greenD = \greenD 1&\gray{\text{Раздели всяка страна на 3}}\end{aligned}
Чудесно! Следователно решението на системата от уравнения е left parenthesis, start color #11accd, 5, end color #11accd, ;, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, right parenthesis.
Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.
4, y, minus, 2, x, equals, 4
5, y, plus, 2, x, equals, 23
x, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Умножаване на едното от уравненията по някаква константа и след това използване на метода на елиминиране

Последният пример се получи добре, защото се отървахме от променливата y, когато събрахме уравненията. Понякога не е чак толкова лесно.
Използвай тази система от уравнения като пример:
6, x, plus, 5, y, equals, 28, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, У, р, а, в, н, е, н, и, е, space, 1, end text, end color gray
3, x, minus, 4, y, equals, 1, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, У, р, а, в, н, е, н, и, е, space, 2, end text, end color gray
Ако съберем тези уравнения, нито променливата x, нито променливата y ще бъде елиминирана, така че това няма да ни свърши работа. Ето стъпките за задачи като тази:
Стъпка 1: Умножи едното от уравненията по някаква константа, за да можем да се отървем от едната променлива, когато го съберем с другото уравнение.
−2(3x−4y)=−2(1)Умножи второто уравнение по−2−6x+8y=−2Опрости, за да получиш ново уравнение\begin{aligned} \maroonD{-2}(3x -4y) &= \maroonD{-2}(1) &\gray{\text{Умножи второто уравнение по} -2} \\\\ \blueD{-6x+8y} &\blueD= \blueD{-2}&\gray{\text{Опрости, за да получиш ново уравнение}}\end{aligned}
Стъпка 2: Прибави новото уравнение към уравнението, което не използвахме в стъпка 1, за да елиминираш една от променливите.
6x+5y=28Уравнение 1+ −6x+8y=−2Новото уравнение13y=26
Стъпка 3: Намери колко е y.
13y=26y=2Раздели двете страни на 13\begin{aligned} 13y &= 26\\\\ y&= 2&\gray{\text{Раздели двете страни на 13}}\end{aligned}
Стъпка 4: Замести с y, equals, 2 в едно от първоначалните уравнения и намери колко е x.
3x−4y=1Уравнение 23x−4(2)=1Замести у с 23x−8=13x=9Прибави 8 към всяка странаx=3Раздели всяка страна на 3\begin{aligned} 3x - 4y &= 1 &\gray{\text{Уравнение 2}} \\\\ 3x -4(2) &= 1 &\gray{\text{Замести у с 2}} \\\\ 3x -8 &= 1 \\\\ 3x &= 9 &\gray{\text{Прибави 8 към всяка страна}} \\\\ x &= 3 &\gray{\text{Раздели всяка страна на 3}} \end{aligned}
Следователно решението е left parenthesis, 3, ;, 2, right parenthesis.
Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.
8, x, plus, 14, y, equals, 12
minus, 6, x, minus, 7, y, equals, minus, 16
x, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Умножаване на двете уравнения по някаква константа и след това използване на метода на елиминиране

Понякога ще трябва да умножим двете уравнения по някаква константа, когато използваме метода на елиминиране.
Например разгледай тази система от уравнения:
5, x, plus, 3, y, equals, 14, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, У, р, а, в, н, е, н, и, е, space, 1, end text, end color gray
3, x, plus, 2, y, equals, 8, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, У, р, а, в, н, е, н, и, е, space, 2, end text, end color gray
Ето стъпките за решаване на една система от уравнения като тази:
Стъпка 1: Умножи всяко уравнение по някаква константа, за да можем да елиминираме едната променлива.
5, x, plus, 3, y, equals, 14, right arrow, start color #ca337c, start text, У, м, н, о, ж, и, space, п, о, space, 2, end text, end color #ca337c, right arrow, 10, x, plus, 6, y, equals, 28
3, x, plus, 2, y, equals, 8, right arrow, start color #ca337c, start text, У, м, н, о, ж, и, space, п, о, space, 3, end text, end color #ca337c, right arrow, 9, x, plus, 6, y, equals, 24
Стъпка 2: Обедини новите уравнения, за да елиминираш едната променлива.
10x+6y=289x+6y=24x+0=4Извади уравненията\begin{aligned} 10x + 6y &= 28 \\ 9x + 6y&=24\\ \hline\\ x + 0 &=4 &\gray{\text{Извади уравненията}} \end{aligned}
Стъпка 3: Замести с x, equals, 4 в едно от първоначалните уравнения и намери y.
3x+2y=8Уравнение 23(4)+2y=8Замести х с 412+2y=82y=−4Извади 12 от всяка странаy=−2Раздели всяка страна на 2\begin{aligned} 3x + 2y &= 8 &\gray{\text{Уравнение 2}} \\\\ 3(4) + 2y &= 8 &\gray{\text{Замести х с 4}} \\\\ 12 +2y &= 8 \\\\ 2y &= -4 &\gray{\text{Извади 12 от всяка страна}} \\\\ y &= -2 &\gray{\text{Раздели всяка страна на 2}} \end{aligned}
Следователно решението е left parenthesis, 4, ;, minus, 2, right parenthesis.
Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.
5, x, plus, 4, y, equals, minus, 14
3, x, plus, 6, y, equals, 6
x, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Да се упражняваме малко!

1) Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.
3, y, plus, x, equals, 7
2, y, minus, x, equals, minus, 2
x, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.
minus, 7, y, minus, 4, x, equals, 1
7, y, minus, 2, x, equals, 53
x, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.
minus, 9, y, plus, 4, x, minus, 20, equals, 0
minus, 7, y, plus, 16, x, minus, 80, equals, 0
x, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4) Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.
3, x, minus, 11, y, equals, minus, 1
2, x, minus, 5, y, equals, minus, 3
x, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача с повишена трудност

Едно училище продава билети за една игра. През първия ден от продажбата училището е продало 6 билета за възрастни и 10 ученически билета с обща стойност 140 долара. През втория ден от продажбата училището е продало 7 билета за възрастни и 3 ученически билета на обща стойност 94 долара.
Напиши и реши система от уравнения, за да намериш каква е цената на билет за възрастен и каква е цената на ученически билет.
Цената за един билет за възрастен е
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
долара.
Цената на един ученически билет е
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
долара.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.