Системи от уравнения с елиминиране: 2x-y=14 & -6x+3y=-42

Трябва да намерим х и у и имаме система уравнения: 2х – у = 14 и –6х + 3у = –42 Можем да се опитаме да решим системата чрез събиране. Нека най-напред видим дали можем да се освободим от променливите у. Тук имаме 3у и тук горе минус у. Няма да се съкратят, ако съберем 3у и –у. Но ако можем да превърнем това –у в (–3у), тогава то ще се съкратя. Най-добрият начин да превърнем –у в (–3у) е като умножим цялото уравнение горе по 3. Така че нека умножим и после можем да намерим малко място отляво. Нека умножим цялото уравнение горе по 3, умножаваме по три. Когато умножа 2х по 3, получавам 6х. Когато умножа (-у) по 3, получавам -3у и след това умножавам 14 по 3, 3 по 14 е 42, нали така? 3 пъти по 10 е тридесет, плюс 12 е 42. И сега можем да съберем тези две уравнения. Нещо интересно се появява на нашия радар. Нека съберем тези две уравнения. Имам лявата страна –6х + 6х, тези двете се съкращават и получаваме 0. Имаме 3у минус 3у, и тези се унищожават, пак получаваме 0, и накрая имаме –42 плюс 42, което е 0, така че приключваме с 0 = 0. Което си е вярно, определено е вярно, не налага никакви ограничения на х или у, и това е понеже всеки път, когато имаме ситуация подобна на тази, и получаваме нещо, което е очевидно вярно, 0=0, 1=1 или 5=5, В тази ситуация, това, с което си имаме работа, са двете уравнения. Двете ни уравнения всъщност са едно и също уравнение, а това тук е една зависима система И както се вижда тук, ако умножим по 3 първото уравнение, получаваме 6х - 3у = 42. Ако тогава умножим това по -1, ще получим същото като второто уравнение. Ще получим –6х + 3у = –42. Друг начин, по който можем да го представим, е ако искаме да преминем от първото уравнение на второто, просто умножаваме двете страни на уравнението по –3. Така че и двете условия тук са на практика еднакви. Един вид са мащабирани копия едно на друго. Ако искаме да ги представим графично, ще го покажа графично тук... Това първото уравнение тук е 2х – у = 14. Изваждаме 2х от двете страни, и от лявата страна ще получим: отляво остава само –у, отдясно имаме –2х + 14, след това умножаваме двете страни по –1 и получаваме у = 2х – 14. Така че това първо уравнение тук... ще начертая координатната система... Това е ординатната ос, а това – абсцисната. За това уравнение точката на пресичане с у е –14. Т.е. тук координатите са (0; –14). Имаме наклон 2. Графиката ще изглежда така. И второто уравнение, ако искаме да го представим графично, понеже това е една зависима система, графиката ще е абсолютно същата права, ако уравнението е във вид по дадени ъглов коефициент и пресечна точка с Оу, и построим неговата графика, ще получим същата права тук. Всъщност налице са безброй много решения. Тези две прави са една и съща права, т.е. те се пресичат навсякъде, те представляват една и съща права. Ето защо ако получим такъв резултат, 0 = 0, 1 = 1, това е един издайнически знак, че си имаме работа с независима система. Ако пък имаме 0 = 1, тогава няма решения. Затова тук системата ще е неопределена. И ситуациите са следните: При първия случай имаме прави, които изцяло съвпадат. Тук пък те са успоредни, поради което никога не се пресичат. И следва най-лесната ситуация, мисля, това е хубавото, х = 1, или у = 2, или каквото и да е, 1 или 2. Това определено е ситуация, при която имаме независима система, или налице са две различни прави, които се пресичат в точно една точка. Както и да е, тук са налице безброй много решения. Всяко х или у, които удовлетворяват първото уравнение, ще удовлетворяват и второто уравнение, понеже е налице едно и също ограничение.