Основно съдържание

9. клас (България)

Курс: 9. клас (България) > Раздел 4

Урок 3: Системи линейни уравнения с две неизвестни. Решаване чрез заместване

Преговор на метода на заместване (системи от уравнения)

Методът на заместване е начин на решаване на системи от уравнения. Тази статия разглежда този начин с множество примери и няколко задачи за упражнение, които да се опиташ да решиш сам.

Какво представлява методът на заместването?

Методът на заместване е техника за решаване на системи от линейни уравнения. Нека разгледаме няколко примера.

Пример 1

От нас се иска да решим следната система от уравнения:

\begin{aligned} 3 x + y & = - 3 \\ x & = - y + 3 \end{aligned}

Второто уравнение е решено за

x

, така че можем да заместим с израза

- y + 3

на мястото на

x

в първото уравнение:

\begin{aligned} 3 x + y & = - 3 \\ 3 (- y + 3) + y & = - 3 \\ - 3 y + 9 + y & = - 3 \\ - 2 y & = - 12 \\ y & = 6 \end{aligned}

Заместваме с тази стойност обратно в едно от първоначалните уравнения, да кажем в

x = - y + 3

, и намираме второто неизвестно:

\begin{aligned} x & = - y + 3 \\ x & = - (6) + 3 \\ x & = - 3 \end{aligned}

Решението на системата от уравнения е

x = - 3

y = 6

Можем да проверим решението си, като заместим тези числа обратно в първоначалните уравнения. Нека опитаме с

3 x + y = - 3

\begin{aligned} 3 x + y & = - 3 \\ 3 (- 3) + 6 & \overset{?}{=} - 3 \\ - 9 + 6 & \overset{?}{=} - 3 \\ - 3 & = - 3 \end{aligned}

Да, решението ни е вярно.

Пример 2

От нас се иска да решим следната система от уравнения:

\begin{aligned} 7 x + 10 y & = 36 \\ - 2 x + y & = 9 \end{aligned}

За да използваме метода на заместване, трябва да намерим или

x

, или

y

в едно от уравненията. Нека намерим

y

във второто уравнение:

\begin{aligned} - 2 x + y & = 9 \\ y & = 2 x + 9 \end{aligned}

Сега можем да заместим с израза

2 x + 9

на мястото на

y

в първото уравнение на системата:

\begin{aligned} 7 x + 10 y & = 36 \\ 7 x + 10 (2 x + 9) & = 36 \\ 7 x + 20 x + 90 & = 36 \\ 27 x + 90 & = 36 \\ 3 x + 10 & = 4 \\ 3 x & = - 6 \\ x & = - 2 \end{aligned}

Заместваме тази стойност обратно в първоначалните уравнения, да кажем в

y = 2 x + 9

, и намираме другата променлива:

\begin{aligned} y & = 2 x + 9 \\ y & = 2 (- 2) + 9 \\ y & = - 4 + 9 \\ y & = 5 \end{aligned}

Решението на системата от уравнения е

x = - 2

y = 5

Искаш ли да научиш повече за метода на заместване? Виж това видео.

Упражнения

Задача 1

Реши следната система от уравнения.

\begin{aligned} - 5 x + 4 y & = 3 \\ x & = 2 y - 15 \end{aligned}

x =

y =

Искаш ли още упражнения? Виж това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.