Системи от втора степен: алгебрично решение

Реши системата от уравнения чрез заместване. Провери решението си, като построиш графика на уравненията. Нека го направим чрез заместване. Знаем, че y е равно на това нещо тук и също така знаем, че y е равно на това нещо тук. Те ще се пресичат, когато и двете са равни на едно и също у, или когато това нещо е равно на това нещо, или когато –x^2 = 2x^2 + 3x – 6. Стойността на х, при която тези двете са равни, ще бъде стойността на x, където тези y са равни, така че това ще бъде тяхната пресечна точка. Това ще бъде двойката (х; y), която удовлетворява и двете уравнения. Да намерим х тук. Добър начин да започнем... нека просто да добавим x^2 към двете страни и получаваме 0 = 3x^2 + 3x – 6. За да опростим дясната страна, бихме могли да разделим двете страни на уравнението на 3 и оставаме с 0 = x^2 + х – 2. Можем да решим квадратното уравнение или да допълним квадрата, или всякакви видове луди неща, но това всъщност е доста лесно, 0 е равно на... търсим две числа, нека са 2 и –1. Когато ги умножиш, получаваш –2, а когато ги събереш, получаваш плюс 1. Това е (x + 2) по (х – 1). Това ни казва, че x + 2 = 0 или x – 1 може да е равно на 0. Изваждаме 2 от двете страни. Получаваме x = –2. Ако добавим 1 към двете страни, x е равно на 1. Това са нашите две решения: x = –2 или x = 1. Нека да го проверим. Когато заместя x = –2, нека го направя тук отгоре, какво получавам? –2 на квадрат е плюс 4. И след това поставяме минус там, така че е минус 4... точката тук е (–2; –4). Това се случва, когато заместим с –2. А какво се случва, когато заместя с 1? 1 на квадрат е 1 и след това, ако поставим минус там, ще е –1. Така че, това е (1; –1). Това са двете точки от графиката на това уравнение тук, от графиката на тази функция. Ако погледнеш това тук, ако заместиш с минус 2 тук, 2 по –2 на квадрат. Минус 2 на квадрат е плюс 4. 2 по плюс 4 е 8. 3 по минус 2 е минус 6, така че 8 минус 6. 8 минус 6 е 2, а 2 минус 6 е равно на –4. Точката е (–2; –4) от графиката на тази функция. Те и двете споделят тази точка, така че те се пресичат там. Ако поставя 1 тук, получавам 2 плюс 3 минус 6. 2 плюс 3 е 5, минус 6, когато x е 1, което е –1. Точка (1; –1) също е на тази горна графика. Можем да поставим тези точки: (–2; – 4). –2, –1, 2, 3, 4 е точно там. Това е точката на пресичане. След това имаме точка (1; –1). Това също е точка на пресичане. Нека начертаем графиката на второто уравнение и просто да проверим – казано е, провери решението си, като построиш графика на уравнението. Нека начертаем първото. Това е доста лесно – y = –x^2. Ще минава през точката (0; 0). Ще бъде крива надолу, надолу отворена парабола. Когато х е плюс или минус 1, y ще бъде –1, защото сме го повдигнали на квадрат и след това вземаме минуса. Когато х е плюс или минус 2, y ще бъде –4. Графиката ще изглежда като нещо подобно – 4, 5, 6, 7, 8, 9. Графиката ще изглежда по този начин. Това е графиката на това уравнение тук. Това ще бъде нагоре отворена парабола. Можем да направим всичко по-бързо, като допълним квадрата. Но нека просто приложим формулата за намиране на корените на квадратно уравнение. Искам да ти покажа бърз начин за намиране на върха, когато използваш формулата за намиране на корените на квадратно уравнение. Ако вземеш това и искаш да намериш неговите нули, х е равно на –b, което е –3 плюс или минус квадратния корен от b на квадрат, което е 9, – 4ac. Минус 4 по 2, по минус 6. Всичко това върху 2 по а или 2 по 2. Сега можем да изчислим това и да намерим нулите на това, но исках да ти покажа това, защото винаги имаме две решения. Нека да напиша отдолу формулата за намиране на корените на квадратно уравнение. Тя е минус b плюс или минус корен квадратен от b^2 – 4ас върху 2а. Ако това е положително число, накрая винаги имаме две решения и те са равноотдалечени, Те са толкова далеч, на това разстояние върху 2а от минус b върху 2а, можем да напишем това като –b/2а плюс или минус квадратния корен от b^2 –4ас/2а. Имаме най-много две решения, които са равно отдалечени от тази стойност на x тук. Виждали сме множество клипове: каква е тази точка, която е на еднакво разстояние от двете решения и е точно по средата? Това ще бъде линията на симетрия или стойността на х на върха. Оттук намираме стойността х на върха от формулата: x-координата на върха е –b/2а. Ако искаме да намерим върха, стойността на x тук, просто вземаме –b, което е –3, върху 2 по а, 2 по 2, което е 4. Така че х равно на –3/4 е върхът на тази парабола. А когато х е равно на –3/4, колко е y? Това е малко по-сложно, но аз просто ще го направя. Ще бъде 2 по 9, върху 16, минус 9 върху 4, минус 6. Нека всъщност да извадя калкулатора за това. Ще бъде 18 върху 16... С калкулатора е по-лесно, а не искам да ти губя времето със сметки. Това е 18 делено на 16, минус 9 делено на 4, минус 6 е равно на –7,125. Това е равно на –7,125. Върхът е при x = –3/4, когато х е точно тук, нека го направя в син цвят, защото това е синя графика, и y = –7. Това по същество е 7 1/8, така че 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,125. То е малко след 7. Върхът на тази горна графика е точно там. Тя е симетрична около върха. Това е линията на симетрия и така тази горната графика ще изглежда нещо като това. Ето така и сме готови. Открихме нашите две точки на пресичане, точно там и там, и когато ги начертаеш на графика, ще изглежда доста добре.