Синус и косинус на ъгли, допълващи се до 90 градуса

Искаме да докажем, че синусът на даден ъгъл е равен на косинуса на ъгъла, който го допълва до 90 градуса.

Да започнем с правоъгълен триъгълник. Обърни внимание как се допълват острите ъгли, сумирай до 90${}^{\circ }$‍.

А сега идва хубавата част. Виждаш ли как синусът на един остър ъгъл

описва $\text{точно същото отношение}$‍ като косинуса на другия остър ъгъл?

Невероятно! И двете функции, $\sin (\theta )$‍ и $\cos ({90}^{\circ }-\theta )$‍, дават точно едно и също отношение между страните в правоъгълния триъгълник.

Готови сме! Доказахме, че $\sin (\theta )=\cos ({90}^{\circ }-\theta )$‍.

С други думи, синусът на един ъгъл е равен на косинуса на ъгъла, който го допълва до 90 градуса.

Значи, технически ние доказахме това за ъгли с мерки между 0${}^{\circ }$‍ и 90${}^{\circ }$‍. За да стане нашето доказателство приложимо за всички ъгли, трябва да излезем извън рамките на тригонометрията на правоъгълния триъгълник и да преминем в света на тригонометрията на единичната окръжност, но с тази задача ще се заемем друг път.

Може би си забелязал, че думите синус и косинус имат подобно звучене. Това е така, защото те са кофункции! Начинът, по който работят кофункциите, е точно този, който виждаш по-горе. По принцип, ако $f$‍ и $g$‍ са кофункции, тогава

и

$g(\theta )=f({90}^{\circ }-\theta )$‍.

Ето пълен списък на основните тригонометрични кофункции:

Чудесно! Който и да е дал имената на тригонометричните функции, трябва да е разбирал в дълбочина връзките между тях.