If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:4:16

Видео транскрипция

Имаме правоъгълен триъгълник, в който дължината на основата е 'а', височината е 'b', а дължината на хипотенузата е 'с'. Когато видим нещо подобно, вече знаем от питагоровата теорема, че отношението между 'а', 'b' и 'c' е следното: 'а' на квадрат плюс 'b' на квадрат е равно на хипотенузата на квадрат – равно е на 'с' на квадрат. В това видео искам да покажа връзката между тригонометричните функции и питагоровата теорема. Нека разгледаме ъглите, които не са прави. Ще кръстим този ъгъл ето тук тита. Да помислим колко ще бъде синус от тита, косинус от тита, и ще видим дали можем да поработим с тях, за да извлечем някак питагоровата теорема. Но преди да направим това, нека си припомним определенията за тези функции. Синус е равен на срещулежащия катет към хипотенузата. Косинус е равен на прилежащия катет към хипотенузата. Тангенс е срещулежащият към прилежащия катет. Няма да използваме тангенс в това видео. Да разгледаме синус от тита. Ще го напиша в синьо. На колко е равен синус от тита? Срещулежащият катет към хипотенузата – равен е на дължината на 'b'... 'b' е дължината – 'b' към дължината на хипотенузата, която е 'с'. На колко е равен косинус от тита? Косинус от тита. Прилежащият катет – рамото на ъгъла, което не е хипотенузата, е с дължина 'а'. Имаме дължината на прилежащия катет към дължината на хипотенузата. Какво е тяхното отношение? Ако повдигна синус от тита на квадрат, ще имам синус от тита на квадрат равно на 'b' на квадрат върху 'с' на квадрат, а косинус от тита на квадрат ще бъде 'а' на квадрат върху 'с' на квадрат. Изглежда, че ако ги събера, ще получа нещо, което е доста близо до питагоровата теорема. Да опитаме. Синус от тита на квадрат е равно на 'b' на квадрат върху 'с' на квадрат. Повдигнах на квадрат и двете страни. Върху 'с' квадрат. Косинус от тита на квадрат е равно на 'а' на квадрат върху 'с' на квадрат. Колко е сборът? Колко е синус на квадрат от тита плюс косинус на квадрат от тита? Синус на квадрат от тита плюс косинус на квадрат от тита... На колко ще бъде равно? Синус на квадрат от тита е 'b' на квадрат върху 'с' на квадрат плюс 'а' на квадрат върху 'с' на квадрат, което ще е равно на... Имаме общ знаменател 'с' на квадрат. А в числителя имаме 'b' на квадрат плюс 'а' на квадрат. 'b' на квадрат плюс 'a' на квадрат. Колко е 'b' на квадрат плюс 'а' на квадрат? Имаме го тук горе – питагоровата теорема ни казва, че 'b' на квадрат плюс 'а' на квадрат или 'а' на квадрат плюс 'b' на квадрат ще бъде равно на 'с' на квадрат. Числителят се опростява до 'с' на квадрат. Целият израз става 'с' на квадрат върху 'с' на квадрат, което е равно на 1. Тук използваме тригонометрични тъждества, а в следващи видеа ще използваме и единична окръжност. Но виждаш, че дори когато използваме основните определения за синус, косинус и тангенс, откриваме може би най-важното за тригонометричните тъждества – че синус от даден ъгъл на квадрат плюс косинус от същия ъгъл на квадрат – не ми е нужно оранжево – плюс косинус на квадрат от същия ъгъл, ще бъде равно на 1. Сега вероятно ще кажеш, ОК, Сал, това е страхотно, но какво от това? Защо трябва да ме интересува? Идеята е, че ако ми дадеш синуса на един ъгъл, аз мога да реша уравнението за косинуса на ъгъла или обратното. Това всъщност е нещо изключително. Това е и част от обосновката за определението на единичната окръжност при тригонометричните функции.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".