Подобие на триъгълници и тригонометрични отношения

Имаме два правоъгълни триъгълника. Да приемем, че и двата имат ъгъл с мярка, равна на тита. Следователно ъгъл А е еднакъв с ъгъл D. Какво знаем за тези два триъгълника? За всеки триъгълник, ако знаем два от ъглите, ще намерим и третия, защото сборът от ъглите в едни триъгълник е равен на 180 градуса. Тоест, ако имаме два еднакви ъгъла, това означава, че и трите ъгли ще са еднакви. А ако имаме три еднакви ъгли, ще имаме подобни триъгълници. Нека да обясня това малко по-добре. Ако този ъгъл е тита, този е 90 градуса. Сборът от всичките трябва да бъде 180 градуса. Това означава, че този ъгъл плюс този ъгъл ще се допълват до 90 градуса. Вече имаме 90 градуса тук, затова ъгъл А и ъгъл В трябва да бъдат допълващи се. Следователно този ъгъл ще бъде 90 минус тита. Можем да използваме същата логика тук. Вече имаме 90 градуса тук. Остават ни 90 градуса общо за тита и този ъгъл. Следователно този ъгъл ще бъде 90 минус тита. 90 градуса минус тита. Имаме три съответстващи си, еднакви ъгли. Говорим за подобни триъгълници. Защо това е интересно? От геометрията знаем, че отношението на съответни страни на подобни триъгълници винаги е едно и също. Да разгледаме съответстващите си страни тук. Страната, която се набива на очи, когато работим с правоъгълни триъгълници, е хипотенузата. Това тук е хипотенузата. Хипотенузата ще съответства на тази хипотенуза тук. Можем да го запишем. Това е хипотенузата на този триъгълник. Това е хипотенузата на този триъгълник. А тази страна тук, страната ВC, на коя страна съответства тя? Ако разгледаме този триъгълник, виждаме, че това е страната, която е срещулежаща на ъгъл тита. Значи, на срещулежащата. Ако преминем в другия триъгълник, отиваме срещу ъгъл D. Срещу ъгъл А лежи страната ВС. Срещу ъгъл D лежи страната EF. Тита отговаря на тази страна тук. И накрая остава страната АС. Можем да я разглеждаме като... Две страни образуват ъгъл А. Едната е хипотенузата. Може да я наречем, вероятно, прилежащ катет. Ако D отговаря на А, това ще бъде съответстващата страна. Причината, поради която направих всичкото това, беше, за да покажа, че отношението на съответстващи си страни на подобни триъгълници винаги е едно и също. Например отношението между ВС и хипотенузата BA. Нека да го запиша. BC/BA ще бъде равно на EF/ED, дължината на отсечката EF върху дължината на отсечката ED. Дължината на отсечката ED. Можем да запишем също, че дължината на отсечката AC към хипотенузата в този триъгълник – АВ, е равна на DF/DE – отново, зелената страна върху оранжевата страна. Триъгълниците са подобни. Те си съответстват един на друг. Следователно това е равно на DF към DE. DF към DE Можем да продължим, но ще направим друго. можем да кажем, че отношението на тази страна – на синята страна към зелената страна, в този тръигълник, дължината на BC към дължината на CA, ще бъде същото като отношението на тези две съответни страни – синята върху зелената, EF/DF. EF към DF Всичко това следва от факта, че триъгълниците са подобни. Това е вярно за всеки правоъгълен триъгълник, в който има ъгъл тита. Двата триъгълника са подобни и всичките тези отношения са идентични. Вероятно можем да дадем наименования на тези отношения, свързани с ъгъл тита. От гледната точка на ъгъл тита – ще напиша тита ето тук или просто можем да го запомним – какво е отношението между тези две страни? От гледна точка на тита синята страна е срещулежащият катет. Срещулежащата страна в правоъгълния триъгълник. А оранжевата страна вече обозначихме като хипотенуза. Следователно от гледна точка на тита, отношението е срещулежащ към хипотенуза. Казвам, от тази гледна точка, защото за другия ъгъл – ъгъл В – нещата ще са различни. От гледна точка на ъгъл В отношението е прилежащ към хипотенуза. Но за това отношение ще мислим по-късно. Нека сега се съсредоточим върху ъгъл тита. Колко е това от гледната точка на тита? Тита е ето този ъгъл. Страните AB и DE са хипотенузите. Не зная как е в множествено число. А какви са страните AC и DF? Те са прилежащи към ъгъла – всяка от тях е едната от двете страни, които образуват ъгъла и не е хипотенуза. Във всеки от тези триъгълници можем да разглеждаме това като отношение между прилежащата страна... Това е съответната страна. Още веднъж – това е срещулежащата на ъгъл B но ние разглеждаме ъгъл А – ъгълът с мярка тита – или ъгъл D ето тук, който е съответен на ъгъл А. АС е прилежащият катет. DF е прилежащият катет по отношение на ъгъл D. Отношението тук е прилежащ към хипотенуза. То ще бъде еднакво за всеки правоъгълен триъгълник, който има ъгъл тита. Накрая, това тук ще бъде срещулежащият катет. Това тук е срещулежащият катет. За всеки правоъгълен триъгълник това отношение ще бъде срещулежащ към прилежащ катет. Към прилежащ. Искам да подчертая колко е важно това – ние ще решаваме още много такива задачи, за да го затвърдим. Но за всеки правоъгълен триъгълник с ъгъл тита отношението между срещулежащия катет и хипотенузата ще бъде едно и също. Това произтича от подобието на триъгълниците. Отношението между прилежащия към ъгъл тита катет и хипотенузата ще бъде едно и също за всеки от тези триъгълници, докато и в двата има ъгли тита. Отношението, спрямо ъгъл тита, между срещулежащия и прилежащия катет – между синята и зелената страна – също винаги ще бъде едно и също. Триъгълниците са подобни. Предвид това, математиците са решили да дадат имена на тези отношения. Спрямо ъгъл тита, това отношение винаги ще бъде едно и също. Затова са го нарекли – отношението срещулежащ към хипотенуза – нарекли са го синус от ъгъл тита. Ще го напиша в нов цвят. По дефиниция това е – а ние ще разширим дефиницията в бъдеще – това е синус от тита. По дефиниция това тук е косинус от тита. А това тук по дефиниция е тангенс от тита. Как да го запомниш по-лесно: това са просто дефиниции. Хората са разбрали, че, при подобните триъгълници за всеки ъгъл тита това отношение винаги ще бъде същото. Заради подобието на триъгълниците, за всеки ъгъл тита това отношение винаги ще бъде същото. Това отношение винаги ще бъде същото. Нека да напишем тези дефиниции. А, за да ги запомним, ще ни помогне правилото soh-cah-toa. Ще го запиша така: soh е синус, равно на срещулежащ към хипотенуза. cah е косинус, равно на прилежащ към хипотенуза. Прилежащ към хипотенуза. И накрая – тангенс е равен на срещулежащ към прилежащ, срещулежащ към прилежащ. soh-cah-toa В следващите видеоклипове ще прилагаме тези дефиниции за тези тригонометрични функции.