Основно съдържание

9. клас (България)

Курс: 9. клас (България) > Раздел 9

Урок 1: Тригонометрични функции на остър ъгъл

Тригонометрични отношения в специални триъгълници

Научи се да намираш синус, косинус и тангенс на 45-45-90 триъгълници и на 30-60-90 триъгълници.

Досега използвахме калкулатора, за да изчисляваме синус, косинус и тангенс на един ъгъл. Възможно е обаче да изчислим тригонометричните функции за определени ъгли без да използваме калкулатор.

Това е така, защото има два специални триъгълника, чиито отношения на страните ние познаваме! Тези два триъгълника са триъгълник 45-45-90 и триъгълник 30-60-90.

Специалните триъгълници

Триъгълници 30-60-90

Един триъгълник 30-60-90 е правоъгълен триъгълник с един ъгъл от 30, degrees градуса и един ъгъл от 60, degrees градуса.

[Не ми се вярва. Можеш ли да ми покажеш как да изведа тези отношения?]

Триъгълници 45-45-90

Един триъгълник 45-45-90 е правоъгълен триъгълник с два ъгъла от 45, degrees градуса.

[Не ми се вярва. Можеш ли да ми покажеш как да изведа тези отношения?]

Тригонометричните отношения за ъгъл от 30, degrees

Вече сме готови да изчисляваме тригонометричните функции за тези специални ъгли. Хайде да започнем с ъгъла от 30, degrees.

Разгледай разработения по-долу пример, за да видиш как се прави това.

Колко е sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Ето един разработен пример:

Стъпка 1: Начертай специалния триъгълник, който включва въпросния ъгъл.

[Защо?]

Стъпка 2: Означи страните на триъгълника според съотношенията за този специален триъгълник.

Стъпка 3: Използвай дефиницията за тригонометричните съотношения, за да намериш стойността на посочения израз.

\begin{aligned} \sin (30^\circ) &= \dfrac{\text{срещулежащ катет }}{\text{хипотенуза}} \\\\ &= \dfrac{x}{2x} \\\\ &= \dfrac{1\maroonD{\cancel{x}}}{2\maroonD{\cancel{x}}} \\\\ &=\dfrac{1}{2}\end{aligned}

Обърни внимание, че можеш да разглеждаш x като 1, x, следователно е ясно, че start fraction, x, divided by, 2, x, end fraction, equals, start fraction, 1, x, divided by, 2, x, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.

Сега да използваме метода, за да намерим cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis и t, g, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis.

Колко е cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

[Показване на решението.]

Колко е t, g, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Тригонометричните отношения за ъгъл от 45, degrees

Хайде да пробваме отново процеса с ъгъл от 45, degrees. Тук можем да започнем с начертаването и означаването на страните на триъгълник 45-45-90.

Колко е cosine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

[Покажи подсказка.]

Колко е sine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Колко е t, g, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Тригонометричните отношения за ъгъл от 60degrees

Процесът на извеждане на тригонометричните отношения за специалните ъгли 30, degrees, 45, degrees и 60, degrees е един и същ.

Независимо, че до момента не сме показали изрично как се намират тригонометричните отношения за ъгъл от 60, degrees, имаме цялата информация, която ни трябва!

Колко е cosine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

[Покажи подсказка.]

Колко е sine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Колко е t, g, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Обобщение

Изчислихме тригонометричните съотношения за ъгли от 30, degrees, 45, degrees и 60, degrees. Таблицата по-долу ни дава обобщение на резултатите.

	cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis	sine, left parenthesis, theta, right parenthesis	t, g, left parenthesis, theta, right parenthesis
theta, equals, 30, degrees	start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 3, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 3, end square root, end fraction, end color #1fab54
theta, equals, 45, degrees	start color #aa87ff, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, end color #aa87ff	start color #aa87ff, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, end color #aa87ff	start color #aa87ff, 1, end color #aa87ff
theta, equals, 60, degrees	start color #1fab54, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, square root of, 3, end square root, end color #1fab54

Тези стойности се срещат често при сложните тригонометрични задачи. Поради тази причина е полезно да ги знаем.

Някой хора предпочитат да запаметяват тези стойности, но запаметяването им не е необходимо. В този урок ти изведе стойностите сам, следователно, да се надяваме, че ще можеш да ги изведеш отново, когато и да ти потрябват в бъдеще.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

9. клас (България)

Курс: 9. клас (България) > Раздел 9

Специалните триъгълници

Тригонометричните отношения за ъгъл от 30∘30^\circ30∘30, degrees

Колко е sin⁡(30∘)\sin(30^\circ)sin(30∘)sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Колко е cos⁡(30∘)\cos(30^\circ)cos(30∘)cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Колко е tg⁡(30∘)\operatorname{tg}(30^\circ)tg(30∘)t, g, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Тригонометричните отношения за ъгъл от 45∘45^\circ45∘45, degrees

Колко е cos⁡(45∘)\cos (45^\circ)cos(45∘)cosine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Колко е sin⁡(45∘)\sin(45^\circ)sin(45∘)sine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Колко е tg⁡(45∘)\operatorname{tg} (45^\circ)tg(45∘)t, g, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Тригонометричните отношения за ъгъл от 60∘^\circ∘degrees

Колко е cos⁡(60∘)\cos(60^\circ)cos(60∘)cosine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Колко е sin⁡(60∘)\sin(60^\circ)sin(60∘)sine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Колко е tg⁡(60∘)\operatorname{tg}(60^\circ)tg(60∘)t, g, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?