Намиране на реципрочни тригонометрични отношения

Определи шестте тригонометрични отношения за ъгъл А в дадения правоъгълен триъгълник. Това е ъгъл А, към връх А. За да запомня дефинициите на тригонометричните отношения – това са определения, създадени от човека, и са се доказали като много, много полезни за анализирането на редица неща – за да ги запомня, използвам думите soh cah toa. Нека да го напиша. Soh cah toa. Възприемаме го като една дума, но реално това са три части, които определят три от тригонометричните функции. А до останалите три стигаме, като разглеждаме първите три. Soh ни казва, че синусът на ъгъл – в този случай sin A, е равен на срещулежащия катет – О, върху хипотенузата. Срещулежащ към хипотенуза. В този контекст колко е срещулежащият катет? Ъгъл А се отваря към страната BC. Тя е с дължина 12. Това е срещулежащият катет. Следователно това тук ще е равно на 12. А хипотенузата? Хипотенузата е най-дългата страна в триъгълника. Тя е срещуположна на ъгъла от 90 градуса. Виждаме, че срещу ъгъла от 90 градуса лежи страната АВ. Дължината ѝ е 13. Следователно това е хипотенузата. Следователно синус от A е 12/13. Да разгледаме cah. Cah определя косинуса. Казва ни, че косинус от ъгъл – в случая косинус от A – е равен на прилежащия към ъгъла катет върху хипотенузата. Кой е прилежащият към ъгъл А катет? Ако погледнем ъгъл А, към него има две страни. Едната е хипотенузата. Другата е с дължина 5. Прилежащият катет е СА. С дължина 5. А хипотенузата? Ние вече я открихме. Хипотенузата е ето тук, лежи срещу ъгъла от 90 градуса. Тя е най-дългата страна в триъгълника. С дължина 13. Следователно косинус от ъгъл A е 5/13. Нека го отбележим. Това тук е прилежащият катет. Това всичко се отнася за ъгъл А. Хипотенузата ще е една и съща, независимо кой ъгъл изберем, но срещулежащият и прилежащият катет зависят от ъгъла, който сме избрали в триъгълника. Да разгледаме toa. Toa определя тангенса. Казва ни, че тангенс на ъгъл е равен на срещулежащия върху прилежащия катет. На какво ще е равно тангенс от А тогава? Срещулежащият катет, както вече разбрахме, е с дължина 12. А прилежащият, както вече знаем, е с дължина 5. Следователно тангенс от А, равен на срещулежащия към прилежащия, е 12/5. Сега ще разгледаме останалите три отношения, които приемаме като реципрочни на посочените тук. Ще го обясня. Първо имаме косеканс. Винаги е малко неразбираемо защо косеканс е реципрочната на синус от А, въпреки че започва с "ко" като косинус. Но косеканс е реципрочната на синус от А. Синус от А е равно на срещулежащия катет към хипотенузата. Косеканс от A е равно на хипотенузата към срещулежащия. На колко е равно хипотенузата към срещулежащия катет? Хипотенузата е 13, а срещулежащият катет е 12. Обърни внимание, че 13/12 е реципрочното на 12/13. Секанс от А е реципрочно. Така че вместо прилежащ катет към хипотенуза, което следва от частта cah от soh cah toa, става хипотенуза към прилежащ. Тогава колко ще е секанс от A? Хипотенузата, вече многократно видяхме, е с дължина 13. А прилежащият катет? Пет. Става 13/5, което е, отново, реципрочното на косинус от A; 5/13. Накрая нека намерим котангенса. Котангенсът е реципрочното на тангенс от A. Вместо срещулежащ към прилежащ катет, ще стане прилежащ към срещулежащ. Следователно колко е котагенс от A? Няколко пъти намерихме прилежащия към ъгъл А катет. Той е с дължина 5. А срещулежащият е с дължина 12. Става 5/12, което, отново, е реципрочното на тангенс от A, който е равен на 12/5.