Основно съдържание

Курс: 9. клас (България) > Раздел 10

Урок 4: Графично представяне на решенията на уравнение за напреднали

Графично решаване на уравнения

Научи по-умен метод за приблизителното намиране на решението на всяко едно уравнение.

Въведение

Можеш ли да решиш уравнението

\log_{2} (x + 4) =

3-x ?

Ще работи ли някоя от алгебричните техники, които научи до сега, за това уравнение?

Опитай, ще откриеш, че алгебричното решаване на

\log_{2} (x + 4) = 3 - x

е трудна задача!

Тази статия изследва прост графичен метод, който може да се използва за приблизителни решения на уравненията, които не могат да бъдат решени директно.

Нека направим система

Мислейки за уравнението като за система от уравнения ни дава идея как можем да решим уравнението графично.

И така, нека превърнем оригиналното уравнение в система от уравнения. Можем да дефинираме променлива

y

и да я приравним на лявата, а след това и на дясната страна на уравнението. Това ще ни даде следната система от уравнения.

$y = \log_{2} (x + 4)$ ‍

$y = 3 - x$ ‍

А сега нека начертаем графиките на уравненията.

Кое от тези е най-близкото решение на горната система?

Нека си припомним графичния подход към решаване на система от уравнения.

Отдолу са графиките на уравненията от следната система.

$y = 2 x - 6$ ‍
$x + 2 y = 8$ ‍

Тъй, като точката

P

лежи и на дветелинии, тя е решение на всяко от уравненията и следователно е решение на системата.

Следователно приблизителното решение на

\log_{2} (x + 4) = 3 - x

x \approx 0, 75

Задача за размисъл

Защо следва, че $0.75$ ‍ е решение на уравнението $\log_{2} (x + 4) =$ ‍3-x?

(Избор А)
Защото $y = 3 - x$ ‍ намалява и $y = \log_{2} (x + 4)$ ‍ се увеличава при $x = 0, 75$ ‍.
(Избор Б)
Защото $0, 75$ ‍ е $x$ ‍-стойността на решението на системата от уравнения $y = 3 - x$ ‍ и $y = \log_{2} (x + 4)$ ‍.

Можем да проверим решение си като заместим

x = 0, 75

в уравнението.

Да го направим!

\begin{aligned} \log_{2} (x + 4) & = 3 - x \\ \log_{2} (0, 75 + 4) & = 3 - 0, 75 \\ \log_{2} (4, 75) & = 2, 25 \\ 2,248 & \approx 2, 25 \end{aligned}

Забележете, че изразите не са на абсолютно равни, тъй като открихме приблизителна пресечна точка. Все пак стойностите са приблизително равни, поради което

0, 75

е приблизително решение на уравнението.

Успяхме!

Използвайки графичния метод ние успяхме да решим уравнението

\log_{2} (x + 4) =

3-x.

Можем да използваме графичния метод, за да решим всяко едно уравнение; методът обаче е особено полезен, когато уравнението няма алгебрично решение.

Метод за решаване на уравнения чрез графики

Нека обобщим това, което направихме досега.

Ето генералния метод за графино решаване на уравнения.

Стъпка

1

: Нека

y

е равно на изразите от двете страни на уравнението.

Стъпка

2

: Начертайте графиките на двете функции., които създадохме по този начин.

Определете приблизително точката/точките, където двете функции се пресичат.

x

координатата на точката/точките, където графиките на функциите се пресичат ще са решението/решенията на уравнението.

Опитай сам

А сега нека сглобим всичко. Отдолу са показани графиките на

y = 2^{x} - 3

y = (x - 6)^{2} - 4

Какво е решението на $2^{x} - 3 = (x - 6)^{2} - 4$ ‍?

x =

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.