Геометрична текстова задача: златното съотношение

Тази картина отдясно е автопортрет , който Рембранд е нарисувал през 1640 г. Това, което е интересно при него, е че както при други велики художници като Леонардо да Винчи и Салвадор Дали, и много, много, много други, Рембранд наистина е обърнал внимание на едно явление, което се казва "златно сечение" (или отношение). Направил съм няколко видеоклипа за него. То е това наистина удивително, удивително число, което по принцип се отбелязва с гръцката буква фи. Ако го разпишем, то е ирационално число, 1,61803, което си продължава още и още нататък, но има някои хубави математически свойства на фи, наречено златно сечение. Ако започнем с φ (фи) и добавим нещо към него... или всъщност нека започнем по този начин. Нека започнем с 1 и прибавим към него 1/φ. Нека запиша това φ малко по-добре. Добавяме към това 1/φ, което дава φ. Това е нещо логично. Ако умножим двете страни на това уравнение по φ, получаваме това. Ако започнем с φ, и след това добавим 1, става φ^2. Така че това е едно число, към което когато прибавим 1, получаваме квадрата му. Всичко това са хубави елементи. Може дори да се запише като периодична дроб. φ може да се представи като 1 + (1 /1 + (1/1 + 1/... върху, и т.н. продължаваме до безкрайност. Това ни дава и φ. Та да се надяваме, че този израз определя числото като едно невероятно число. То е такова не само математически, но се вижда из цялата природа, и е нещо, което художниците наистина ценят, понеже вярват, че това помага при определянето на красотата на човека. И виждаме, че Рембранд наистина го е било грижа за това в картините му. Как можем да знаем? Ами правим именно това, за да анализираме малко, чрез упражнението в това видео. Можем да построим един триъгълник. Очевидно тези триъгълници не са част от оригиналната му картина. Тук ние наложихме тези триъгълници. Но ако поставим основата на триъгълника точно там, където е положена ръката му, и след това двете страни на триъгълника очертаят ръцете му и раменете му, и се срещнат точно на върха на тази арка, то ще построим триъгълника ABD, по начина по който сме го направили тук. И сетне, ако отидем при очите му, и можем да си представим, че очите на човек са това, което виждаме в естественото, без значение дали гледаме някакво лице или картина на лице. Ако погледнем очите му тук, и ако начертаем там една права, която е успоредна, ами, тя наистина свързва очите, и е успоредна на BD тук - така че нека наречем тази отсечка там PR - ще видим, че това отношение, отношението между този по-малък триъгълник и този по-голям триъгълник, включва φ. Това всъщност знаем, казано ни е за тази картина, и е направо изумително. Отношението между дължината на отсечките CD и BC e както φ към едно. Спускаме височина от върха на този по-голям триъгълник. Това отношение на CD, дължината на CD към дължината на BC е φ. Така че очевидно Рембранд е помислил за това. Дори знаем, че PR е успоредна на BD. Всъщност сме го построили по този начин. Тази отсечка ще е успоредна на онази там. Следващата подсказка ни казва, че Рембранд определено е помислил по въпроса. Нека видим отношението на AC към AQ. Така че AC е височината на по-големия триъгълник. Отношението на тази отсечка към AQ, която е височината на този триъгълник, това отношение е φ плюс 1 към 1, или дори можем да кажем, че това отношение е φ + 1. Очевидно Рембранд доста е мислил по този въпрос. Като имаме предвид всичката тази информация, нека малко изследваме тук. Да видим дали можем да намерим израз, който е отношението между лицето на триъгълника ABD, т.е. лицето на по-големия триъгълник, към лицето на триъгълник APR. Това е този, по-малкия триъгълник там горе. Търсим отношението между лицето на по-големия триъгълник към лицето на по-малкия триъгълник, и искам да видя дали можем да го направим чрез φ. Ако можем да намерим някакъв израз тук, който включва само φ, или постоянни числа, или да се позанимаваме някак с φ. Така че те насърчавам да спреш видеото и да се опиташ да направиш това. Нека започнем стъпка по стъпка. Как се намира лице на триъгълник? Лицето на триъгълника е равно на 1/2 по основата по височината. Така че лицето на триъгълник ABD можем да го запишем като 1/2 по основата... Нашата основа е дължината на отсечката BD. T.e. 1/2 по BD. A каква е височината? Това е дължината на отсечката АC. 1/2 по BD - нека изразя отсечката AC. Оцветявам я по същия начин - по дължината на отсечката AC. Какво е лицето? Това е лицето на триъгълник ABD. 1/2 по основата по височината. А какво е лицето на триъгълника APR? Ами то ще е равно на 1/2 по дължината на нашата основа, която е PR, отсечката PR, нейната дължина, по височината, която е отсечката AQ; а дължината на отсечката AQ, нея можем да я запишем така, по дължината на отсечката AQ. Как можем да го опростим това? Можем да разделим на 1/2. Тези двете се съкращават. Но какво друго знаем? Дадено ни е отношението между AC и AQ. Съотношението между AC и AQ. Съотношението на AC към AQ тук е (φ +1)/1. Или можем да кажем, че това е равно на φ. Или това, че тук е равно на φ + 1. Преписвам това. Всъщност, нека го напиша по този начин. Това ще е равно на... имаме дължината на отсечката BD върху дължината на отсечката PR, и тогава тази част тук можем да я препишем, тя е равна на (φ +1)/1. Така че ще я запиша по този начин. Умножено по (φ +1)/1. А какво е отношението BD към PR? Така, BD към PR. Отношението на основата на по-големия триъгълник към основата на по-малкия триъгълник. Та нека помислим малко по въпроса. Това, което можем да видим, е че по-големият триъгълник и по-малкият триъгълник са подобни триъгълници. Те очевидно имат общ ъгъл А, и след като PR е успоредна на BD, тогава знаем, че този ъгъл съответства на този ъгъл. Те са еднакви. И знаем, че този ъгъл съответства на този ъгъл тук. Така че сега имаме три съответни ъгъла, които са еднакви. Този е съответен на себе си, той е общ за двата триъгълника. Този е съответен на този. Този е съответен на онзи. Имаме три съответни ъгъла, налице са два подобни триъгълника. А това, което е полезно при подобните триъгълници, е отношението между съответните страни. Отношенията на съответните страни от подобните триъгълници ще са същите. Дадено ни е едно от тези отношения. Дадено ни е отношението между височината на големия триъгълник и височината на малкия триъгълник. AC към AQ е (φ +1)/φ. Но след като това е вярно за една съответна страна при подобните триъгълници, то е вярно за всички съответстващи страни на подобните триъгълници, че отношението ще е (φ +1)/φ. От там отношението на BD, отношението на основата на големия триъгълник към основата на малкия, то също ще е (φ +1)/1. И това ще бъде същото отношение. Нека го напиша по този начин. Може и да се препише като (φ +1)/1. И как опростяваме тук? Имаме (φ +1)/1 по (φ +1)/1. Можем просто да разделим на 1. Не променяме стойността. Това ще е равно на... тук направо трябва едно барабани да има. Това е равно на (φ +1)^2. Много добре. И те насърчавам да помислиш добре за това, понеже вече видяхме, че (φ +1) е равно на φ^2, и има всякакви странни, интересни начини, по които можем да продължим с анализирането.