Въведение в линейни уравнения с две неизвестни

В това видео искам да те запозная с понятието линейно уравнение. Нека разгледаме няколко примера за линейни уравнения. Например уравнението у = 2х – 3 е линейно уравнение. Защо го наричаме линейно уравнение? Защото ако вземеш всички двойки ху, които удовлетворяват това уравнение, и ги начертаеш в координатната равнина, ще получиш права линия. Ето защо се нарича линейно уравнение. Нека всъщност се уверим в това твърдение. Нека нанесем няколко двойки ху, които удовлетворяват това уравнение и след това да се уверим, че те наистина образуват права. Просто ще избера няколко стойности за х, с които лесно ще изчислим съответните стойности за у. Ако х е равно на нула у ще бъде 2 по 0 минус 3, което е минус 3. Като върху координатната равнина това ще бъде... ще се придвижим с 0 в посоката на х, 0 в хоризонталната посока, и ще слезем надолу с 3 във вертикалната посока, в посоката на у. Така че това е тази точка тук. Ако х е равно на 1, на колко е равно у? Ами 2 по 1 е 2, минус 3 е минус 1. Следователно се придвижваме с плюс 1 в посоката на х и минус 1 или с 1 надолу в посоката на у. Сега нека видим, ако х е равно на 2, колко е у? 2 по 2 е 4, минус 3 е 1. Когато х е равно на 2, у е равно на 1. И дано сега да виждаш, че ако продължа... даже ти препоръчвам, ако искаш спри видеото на пауза и опитай с х равно на 3 или х равно на минус 1 и продължи нататък. Ще видиш, че това ще образува права. Нека свържа тези точки и ти ще видиш правата, за която говоря. И така, да видим, дали мога да начертая, ще използвам инструмента за чертане на линия тук. Ще се опитам да свържа точките, колкото мога по-добре. Ето. Тази права, която току-що начертах, е графиката, това е графиката на у = 2х – 3. Ако начертаеш всичките двойки ху, които удовлетворяват това уравнение, ще получиш тази права. Като може би ще кажеш: "Чакай малко Сал, ти просто опита с някои определени точки, защо просто не намери множество точки, как всъщност получаваш права?" Ами аз просто опитах, тук просто опитах със стойности на х, които са цели числа. Но ти можеш да пробваш с всяка една стойност между тях, с всички тези, това всъщност е доста уникална представа. За всяка стойност на х, която въведеш в това уравнение, ще намериш съответната стойност за у, която ще стои на тази права. Например, ако бяхме взели х е равно на... всъщност нека х = –0,5. Ако х е равно на минус 0,5, ако погледнем правата, когато х е равно на минус 0,5, изглежда че у е равно на минус 4. И изглежда, че тази точка се намира върху правата. Добре, нека го проверим. Ако х е равно на минус... ще го напиша като минус 1/2, тогава на колко е равно у? Да видим, 2 по минус 1/2, просто ще го запиша така, 2 по минус 1/2 минус 3. Добре, 2 по минус 1/2 е минус 1, минус 3 е наистина минус 4, то наистина е минус 4. Следователно ти буквално можеш да вземеш всяка... за всяка х стойност, която въведеш тук, съответната стойност на у ще се намира върху правата. Тази точка тук представя решение на това линейно уравнение. Нека го напиша с цвят, който можеш да видиш. Тази точка представя решение на линейно уравнение. Тази точка представя решение на линейно уравнение. Тази точка не е решение на линейно уравнение. Ако х е равно на 5, тогава у няма да бъде равно на 3. Ако х беше равно на 5, придвижваш се до правата, за да видиш, какво е решението на линейното уравнение. Ако х е 5, това ни показва, че у ще бъде 7. И това наистина е така. 2 по 5 е 10, минус 3 е 7. Точката (5; 7) лежи на правата или удовлетворява това линейно уравнение. Така че ако вземеш всички двойки ху, които го удовлетворяват, ще получиш права. Ето защо се нарича линейно уравнение. Сега, това не е единственият начин, по който можем да напишем едно линейно уравнение. Можеш да напишеш линейно уравнение като... нека го напиша с нов цвят. Можеш да напишеш едно линейно уравнение по този начин: 4х – 3у = 12. Това също е линейно уравнение. И ние виждаме, че ако трябваше да начертаем двойките ху, които го удовлетворяват, отново щяхме да получим права. х и у. Ако х е равно на 0, тогава това изчезва и имаш минус 3у е равно на 12. Да видим, ако минус 3у е равно на 12, тогава у ще бъде равно на минус 4. (0 ; –4). Можеш да го провериш. 4 по 0 минус 3 по минус 4, ами това ще бъде равно на плюс 12. Да видим, ако у беше равно на 0, тогава това е 4 по х и е равно на 12, тогава х е равно на 3. Получаваш точката (0; –4) от тази права и получаваш точката (3; 0) от тази права. Направих ли го правилно? Да. И така, (0; –4) и след това (3; 0). И така, 0 запетая минус 4 и след това 3 запетая 0. Тези точки ще бъдат от тази права. (3; 0) е също от тази права. Така че тази права ще изглежда по следния начин... ще опитам да я начертая на ръка... нещо като това. Още веднъж, всичките ху -- всички двойки ху, които удовлетворяват това уравнение, ако ги нанесеш на графика, ще образуват права. Сега, може би ще попиташ: "Чакай, чакай, не е ли всяко уравнение линейно?" И простият отговор е: "Не, не всяко уравнение е линейно уравнение." Ще ти дам няколко примера за нелинейни уравнения. Нека го напиша малко по-ясно от това. Нелинейни уравнения. Добре, те могат да включват нещо като у е равно на х на квадрат. Ако го начертаеш, ще видиш, че това ще бъде крива. Това може да бъде нещо като х по у е равно на 12. Това също няма да бъде права. Или може да бъде 5/х + у = 10. Това също няма да бъде права. Така че сега, като в даден момент можеш... препоръчвам ти да се опиташ да начертаеш тези неща, те всъщност са доста интересни. Но като се има предвид, че сега видяхме примери за линейни и нелинейни уравнения, нека видим дали можем да измислим определение за линейни уравнения. Един от начините да го разглеждаме, е като уравнение, което ако трябва да начертаеш, всички двойки ху, които удовлетворяват уравнението, лежат на една права линия. И точно оттук идва наименованието линейно уравнение. Друг начин да го разглеждаме, е че това е уравнение, в което всеки член е или константа... например 12 е константа. Тя няма да се промени въз основа на стойността на някоя от променливите, 12 е 12. Или минус 3 е минус 3. Така че всеки член или е константна величина, или е константно число по променлива, повдигната на първа степен. Това е константата 2 по х на първа степен. Това е променливата у, повдигната на първа степен. Можеш да го кажеш, защото това е просто едно у. Не разделяме на х или у, не умножаваме, нямаме член, който има х на втора степен или х на трета степен, или у на пета степен. Имаме само у на първа степен и х на първа степен. Не умножаваме х и у едно по друго, както направихме тук. Така че, ако всеки член на уравнението, от всяка страна на уравнението, е или постоянна величина, или е само някакво число по х, само х на първа степен, или някакво число по у и не умножаваш х и у едно по друго, тогава имаш линейно уравнение.