Основно съдържание

Курс: Основи на алгебрата > Раздел 5

Урок 2: Методът на елиминиране за системи от уравнения

Преговор върху метода на елиминиране (системи от линейни уравнения)

Методът на елиминиране е техника за решаване на системи от линейни уравнения. Тази статия преглежда техниката с примери и дори ти дава шанс да изпробваш сам метода.

Какво представлява методът на елиминиране?

Методът на елиминиране е техника за решаване на системи от линейни уравнения. Нека разгледаме няколко примера.

Пример 1

От нас се иска да решим следната система от уравнения:

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ 5 y - 7 x & = 12 \end{aligned}

Забелязваме, че първото уравнение има член

7 x

, а второто има член

- 7 x

. Тези членове ще се съкратят, ако съберем уравненията—тоест ще елиминираме членовете

x

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ + 5 y - 7 x & = 12 \\ 7 y + 0 & = 7 \end{aligned}

Като го решим за

y

, получаваме:

\begin{aligned} 7 y + 0 & = 7 \\ 7 y & = 7 \\ y & = 1 \end{aligned}

Заместваме тази стойност обратно в първото уравнение и намираме другата променлива:

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ 2 \cdot 1 + 7 x & = - 5 \\ 2 + 7 x & = - 5 \\ 7 x & = - 7 \\ x & = - 1 \end{aligned}

Решението на системата е

x = - 1

y = 1

Можем да проверим решението си, като заместим тези стойности обратно в първоначалните уравнения. Нека опитаме с второто уравнение:

\begin{aligned} 5 y - 7 x & = 12 \\ 5 \cdot 1 - 7 (- 1) & \overset{?}{=} 12 \\ 5 + 7 & = 12 \end{aligned}

Да, решението е вярно.

Ако не си сигурен защо този процес работи, виж това въвеждащо видео за по-задълбочено разясняване.

Пример 2

От нас се иска да решим следната система от уравнения:

\begin{aligned} - 9 y + 4 x - 20 & = 0 \\ - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \end{aligned}

Можем да умножим първото уравнение по

- 4

, за да получим еквивалентно уравнение, което съдържа члена

- 16 x

. Новата (но еквивалентна!) система от уравнения изглежда по следния начин:

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \end{aligned}

Като съберем уравненията, за да елиминираме членовете

x

, получаваме:

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ + - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \\ 29 y + 0 - 0 & = 0 \end{aligned}

Като го решим за

y

, получаваме:

\begin{aligned} 29 y + 0 - 0 & = 0 \\ 29 y & = 0 \\ y & = 0 \end{aligned}

Заместваме тази стойност обратно в първото уравнение и намираме другата променлива:

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ 36 \cdot 0 - 16 x + 80 & = 0 \\ - 16 x + 80 & = 0 \\ - 16 x & = - 80 \\ x & = 5 \end{aligned}

Решението на системата е

x = 5

y = 0

Искаш ли да видиш още примери за решаване на сложни задачи с метода на елиминиране? Виж това видео.

Упражнение

Задача 1

Реши следната система от уравнения.

\begin{aligned} 3 x + 8 y & = 15 \\ 2 x - 8 y & = 10 \end{aligned}

x =

y =

Искаш ли още упражнения? Виж тези упражнения:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.