Системи от неравенства - примери

Да решим няколко задачи със сложно неравенство. Сложно неравенство имаме, когато е дадено повече от едно условие. Сега ще разбереш за какво говоря. Първото неравенство е –5 е по-малко или равно на х – 4, което е също така по-малко или равно на 13. Имаме две страни на неравенството за 'х'. И ще трябва да решим и двете. x – 4 трябва да бъде по-голямо или равно на –5; и x – 4 трябва да бъде по-малко или равно на 13. Първа стъпка в решението е преработване на сложното неравенство. На нов ред записваме първото неравенство: –5 е по-малко или равно на 4 и до него със съюза "И" записваме второто неравенство: Х – 4 е по-малко или равно на 13. Следващата стъпка е да решим поотделно всяко неравенство. Много е важно да не забравиш за съюза "И", който показва, че отговорът трябва да удовлетворява и двете страни на сложното неравенство. Решаваме двете неравенства поотделно. В първото неравенство може да добавим 4 към двете страни на неравенството. От ляво имаме –5 + 4, което дава –1. –1 е по-малко или равно на х. Плюс 4 и минус 4 от дясната страна се съкращават, и отдясно остава само 'х' Така получихме, че лявата страна на сложното неравенство при опростяване дава че 'x' е по-голямо или равно на –1. Или обратното, че –1 е по-малко или равно на 'x'. Можем да го запишем и така. 'x' е по-голямо или равно на –1. Което е еквивалентно. Просто разменяме едната страна с другата. Да решим другото неравенство в зелен цвят. Добавяме 4 към двете страни на неравенството. От лявата страна остава само 4 след съкращаване. А отдясно получаваме 13 + 4, което е 17. Получаваме, че 'x' е по-малко или равно на 17. По двете условия получаваме, че 'x' трябва да е по-голямо или равно на –1 и по-малко или равно на 17. Можем отново да напишем всичко заедно като сложно неравенство. За решението можем да кажем, че 'x' трябва да е по-малко или равно на 17 и по-голямо или равно на –1. Решението трябва да отговаря и на двете условия. Как би изглеждало това върху числовата ос? Нека начертаем числовата ос. Да кажем, че това е 17. Тук е 18. Продължаваме нататък. Тук поставяме 0. Както виждаш, пропускам една част от цифрите. Тук поставяме –1, а тук –2. 'x' е по-голямо или равно на –1, затова започваме от –1. Ограждаме стойността, защото трябва да е по-голямо или равно на. Но 'x' също така трябва да бъде по-малко или равно на 17. Т.е. може да е равно на 17 или по-малко от 17. Това е решението. Всичко, което съм показал в оранжево. Ако искаме да изпишем всичко по метода на интервалите, то 'x' е между –1 и 17 и може също да бъде равно на –1. Затова слагаме скоба. Може да е равно и на 17. Така изписваме сложното неравенство по метода на интервалите. Да решим още една задача. Нека намеря интересна задача, която да решим. Да кажем, че имаме –12. Ще променя задачата малко спрямо показаното в сборника. –12 < 2 – 5х, което е по-малко от или равно на 7. Искам да решим задача, при която има условие "по-малко от", а така също и условие "по-малко или равно на". В задачата от книгата, която разглеждам, има условие "равно на", но умишлено го пропускам, защото бих искал да разгледаме задача, в която се съдържат и двете условия. Първо разделяме на две обикновени неравенства. Това е едното. Знаем, че –12 < 2 –5Х. Решението трябва да отговаря на това условие, както и на условието на другото неравенство, затова ще го изпишем в друг цвят. 2 – 5х трябва да бъде по-малко от 7 и по-голямо от –12, по-малко или равно на 7 и по-голямо от –12, затова и 2 – 5х трябва да бъде по-малко или равно на 7. Нека решим задачата по вече описания начин. Преместваме 2 от лявата страна. Изваждаме 2 от двете страни на уравнението. Ако извадим 2 от двете страни на уравнението, отляво остава –14, което отговаря на условието "по-малко". Съкращаваме и остава по-малко от –5х. Да разделим и двете страни на –5. Помни, че когато умножим или разделим на отрицателно число, трябва да разменим местата на страните в неравенството. Затова ако разделим и двете страни на –5, получаваме 14 делено на –5, а от дясната страна остава Х, което делено на –5, променя знака от "по-малко от" на "по-голямо от". Съкращаваме отрицателния знак и получаваме че 14/5 е по-голямо от 'х' или че х < 14/5. 14/5 е равно на 2 и 4/5. 'x' < 2 и 4/5. Просто написах неправилната дроб като смесено число. Нека се занимаем с другия двучлен. Тук ще използваме тъмно пурпурен цвят. Изваждаме 2 от двете страни на уравнението, както направихме по-горе. Всъщност можеш да извършваш действията едновременно, но има вероятност да стане объркване. За да избегнеш грешките, съветвам те да разделяш решението на задачата по този начин. Ако извадим 2 от двете страни на уравнението, от лявата страна получаваме –5x. При дясната страна имаме знака "по-малко или равно на". От дясната страна остава 7 минус 2, което е равно на 5. Разделяме и двете страни на –5. От лявата страна остава 'x'. От дясната страна 5 делено на –5 прави –1. И след като делим на отрицателно чистло, разменяме страните на неравенството. Това означава, че променяме знака от "по-малко или равно на" на "по-голямо или равно на". И така имаме и двете условия. 'x' да е по-малко от 2 и 4/5 и да е по-голямо или равно на –1. Можем да го запишем така. 'x' да е по-голямо или равно на –1, което ще бъде долната граница на нашия интервал, и трябва да бъде по-малко от 2 и 4/5. Забележи – знакът не е "по-малко или равно на". Точно това исках да покажа, слагаме скоба, защото не може да бъде равно на 2 и 4/5. 'x' трябва да бъде по-малко от 2 и 4/5. Можем да го запишем и по този начин. 'x' трябва да бъде по-малко от 2 и 4/5 – това е само едното неравенство. Разменяме страните и получаваме, че 'x' трябва да бъде по-голямо или равно на –1. Това са две еквивалентни твърдения. Ако искаме да използваме числовата ос, то това ще изглежда така. Тук е –1, а тук е 2 и 4/5. Разбира се между тях има и други стойности. Може би знаеш, че 0 се намира тук. Трябва да спазим условието 'x' да е по-голямо или равно на –1, за да е равно на –1. Условието 'x' да е по-голямо от –1 ще е спазено, но също така ще спазим и условието 'x' да е по-малко от 2 и 4/5. Затова не можем да включим 2 и 4/5 на числовата ос. 'x' не може да бъде равно на 2 и 4/5. То може да бъде само по-малко от, затова ограждаме с празен кръг 2 и 4/5 и след това попълваме всичко надолу, докато стигнем до –1. Включваме –1, защото имаме знак "по-малко или равно на". Двете последни задачи съдържаха условието "И". Необходимо е решение, което да отговаря и на двете условия. Нека сега решим задача с условие "ИЛИ". Имаме следните неравенства. Дадено е 4х – 1 е по-голямо или равно на 7 ИЛИ или 9х/2 трябва да е по-малко от 3. Когато имаме условие "ИЛИ", 'x' трябва да отговаря на поне едното от условията. В последните няколко видео урока или в последните няколко задачи трябваше да намерим 'x', което да бъде решение и за двете условия. Тук това е много по-лесно. Необходимо е да намерим решение поне за едното неравенство. Но нека да намерим решение и за двете след това да намерим начин да ги обединим, да комбинираме така, че да отговарят и на двете неравенства. От лявата страна можем да добавим 1 към двете страни. Добавяме 1 към двете страни. От лявата страна получаваме, че 4х е по-голямо от или равно на 7 плюс 1, което прави 8. Разделяме и двете страни на 4. Получаваме че 'х' е по-голямо или равно на 2. Или да решим тази задача. Да видим какво получаваме, ако умножим и двете страни на уравнението по 2/9? Не е необходимо да правим разместване на уравнението, защото умножаваме и двете страни по 2/9, което е положително число. Съкращаваме и получаваме, че 'x' е по-малко от 3 по 2/9. 3/9 е равно на 1/3, което означава, че 'x' трябва да е по-малко от 2/3. ИЛИ x < 2/3. Това е решението. 'x' да е по-голямо или равно на 2 или по-малко от 2/3. Това е интересната част. Ще отбележа числата върху числовата ос. Ето числовата ос. Тук е 0, това е 1, 2, 3 и тук поставяме –1. И така, 'x' трябва да е по-голямо или равно на 2. Ще използвам друг цвят. Можем да започнем от 2, като 'x' е по-голямо или равно на 2 и затова включваме всички числа по-големи или равни на 2. Това е едното от решенията. ИЛИ 'x' може да е по-малко от 2/3. 2/3 се намира тук върху числовата ос, нали? Тук е 2/3. 'x' може да е по-малко от 2/3. Това също е интересно. защото ако изберем едно от тези числа, то ще бъде възможно решение на неравенството. Ако изберем едно от числата, то ще бъде възможно решение на неравенството. Ако задачата съдържаше условие "И", нямаше да има числа които да са решение на неравенството, защото няма как те да бъдат по-големи от 2 и в същото време да са по-малки от 2/3. Единствената възможност за решение в случая е условието "ИЛИ". Може да намерим решение, което да отговаря на едно от двете неравенства. Надявам се, че урока ти е харесал.