If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Абсолютна стойност и ъгъл на комплексни числа: преговор

Преговори знанията си за свойствата на комплексните числа: абсолютна стойност и ъгъл. Преобразувай комплексни числа между тригонометричен и алгебричен вид.
Абсолютна стойност (модул) на a, plus, b, i\mid, z, \mid, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root
Ъгъл на a, plus, b, itheta, equals, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis
Алгебричен вид от дадени r и ъгъл thetar, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, r, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, dot, i

Какво са абсолютна стойност и ъгъл на комплексни числа?

Свикнали сме да записваме комплексните числа в алгебрична форма, която съдържа тяхната start color #11accd, start text, р, е, а, л, н, а, end text, end color #11accd и start color #1fab54, start text, и, м, а, г, и, н, е, р, н, а, end text, end color #1fab54 част. Например като start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i.
Можем да начертаем числата в комплексната равнина, като използваме техните части:
Графично погледнато, има и друг начин да опишем еднозначно комплексното число — с неговите start color #e07d10, start text, а, б, с, о, л, ю, т, н, а, space, с, т, о, й, н, о, с, т, end text, end color #e07d10 и start color #aa87ff, start text, ъ, г, ъ, л, end text, end color #aa87ff:
start color #e07d10, start text, А, б, с, о, л, ю, т, н, а, т, а, space, с, т, о, й, н, о, с, т, end text, end color #e07d10 или start color #e07d10, start text, м, о, д, у, л, ъ, т, end text, end color #e07d10 ни показва разстоянието на числото от началото на комплексната равнина, докато неговият start color #aa87ff, start text, ъ, г, ъ, л, end text, end color #aa87ff, наричан още start color #aa87ff, start text, а, р, г, у, м, е, н, т, end text, end color #aa87ff, е ъгълът между числото и положителната посока на реалната ос.
Абсолютната стойност на едно комплексно число z се записва по същия начин, както и абсолютната стойност на реално число: като vertical bar, z, vertical bar.
Искаш ли да научиш повече за абсолютната стойност и ъгъла на комплексните числа? Виж това видео.

Упражнение 1: намиране на абсолютна стойност

За да намерим големината на едно комплексно число, взимаме квадратния корен от сбора на квадратите на частите му (това е директно приложение на питагоровата теорема).
vertical bar, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, i, vertical bar, equals, square root of, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, end square root
Например абсолютната стойност на числото start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i е square root of, start color #11accd, 3, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.
Задача 1.1
vertical bar, 3, plus, 7, i, vertical bar, equals

Отговорът трябва да е точно число.

Искаш да решиш още подобни задачи? Виж това упражнение.

Упражнение 2: намиране на ъгъла

За да намерим ъгъла на комплексно число, взимаме реципрочното на тангенс от частното на неговите части:
theta, equals, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, b, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction, right parenthesis
Това следва от използването на тригонометричните зависимости в правоъгълния триъгълник, образуван от числото и реалната ос.

Пример 1: Квадрант start text, I, end text

Да намерим ъгъла на числото start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i:
t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, 3, end color #11accd, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 53, degrees

Пример 2: Квадрант start text, I, I, end text

Да намерим ъгъла на числото start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i. Най-напред забележи, че start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i е във втори квадрант.
t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees
minus, 53, degrees е в квадрант start text, I, V, end text, а не в start text, I, I, end text. Трябва да добавим 180, degrees, за да получим срещуположния ъгъл:
minus, 53, degrees, plus, 180, degrees, equals, 127, degrees
Задача 2.1
z, equals, 1, plus, 4, i
theta, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Ако е необходимо, закръгли отговора си с точност до десета. Изрази theta в градуси между minus, 180, degrees и 180, degrees.

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.

Упражнение 3: Алгебричен вид от абсолютна стойност и ъгъл

За да намерим реалната и имагинерната част на комплексно число, за което знаем неговата абсолютна стойност и ъгъл, умножаваме абсолютната стойност по синуса или косинуса на ъгъла:
start overbrace, start color #e07d10, r, end color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #11accd, a, end color #11accd, end superscript, plus, start overbrace, start color #e07d10, r, end color #e07d10, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #1fab54, b, end color #1fab54, end superscript, dot, i
Това следва от използването на тригонометричните зависимости в правоъгълния триъгълник, образуван от числото и реалната ос.
Например това е алгебричният вид на комплексно число с абсолютна стойност start color #e07d10, 2, end color #e07d10 и ъгъл start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff:
start color #e07d10, 2, end color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis, plus, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis, i, equals, start color #11accd, square root of, 3, end square root, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, i
Задача 3.1
vertical bar, z, start subscript, 1, end subscript, vertical bar, equals, 3 и theta, start subscript, 1, end subscript, equals, 20, degrees
z, start subscript, 1, end subscript, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
+
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
i
Закръгли отговора си с точност до хилядните.

Искаш ли да опиташ с още задачи като тази? Виж това упражнение.