Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 16

Урок 7: Абсолютна стойност и ъгъл на комплексни числа

Абсолютна стойност и ъгъл на комплексни числа: преговор

Преговори знанията си за свойствата на комплексните числа: абсолютна стойност и ъгъл. Преобразувай комплексни числа между тригонометричен и алгебричен вид.


Абсолютна стойност (модул) на a, plus, b, i		\mid, z, \mid, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root
Ъгъл на a, plus, b, i		theta, equals, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis
Алгебричен вид от дадени r и ъгъл theta		r, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, r, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, dot, i

Какво са абсолютна стойност и ъгъл на комплексни числа?

Свикнали сме да записваме комплексните числа в алгебрична форма, която съдържа тяхната start color #11accd, start text, р, е, а, л, н, а, end text, end color #11accd и start color #1fab54, start text, и, м, а, г, и, н, е, р, н, а, end text, end color #1fab54 част. Например като start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i.

Можем да начертаем числата в комплексната равнина, като използваме техните части:

Графично погледнато, има и друг начин да опишем еднозначно комплексното число — с неговите start color #e07d10, start text, а, б, с, о, л, ю, т, н, а, space, с, т, о, й, н, о, с, т, end text, end color #e07d10 и start color #aa87ff, start text, ъ, г, ъ, л, end text, end color #aa87ff:

start color #e07d10, start text, А, б, с, о, л, ю, т, н, а, т, а, space, с, т, о, й, н, о, с, т, end text, end color #e07d10 или start color #e07d10, start text, м, о, д, у, л, ъ, т, end text, end color #e07d10 ни показва разстоянието на числото от началото на комплексната равнина, докато неговият start color #aa87ff, start text, ъ, г, ъ, л, end text, end color #aa87ff, наричан още start color #aa87ff, start text, а, р, г, у, м, е, н, т, end text, end color #aa87ff, е ъгълът между числото и положителната посока на реалната ос.

Абсолютната стойност на едно комплексно число z се записва по същия начин, както и абсолютната стойност на реално число: като vertical bar, z, vertical bar.

Искаш ли да научиш повече за абсолютната стойност и ъгъла на комплексните числа? Виж това видео.

Упражнение 1: намиране на абсолютна стойност

За да намерим големината на едно комплексно число, взимаме квадратния корен от сбора на квадратите на частите му (това е директно приложение на питагоровата теорема).

vertical bar, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, i, vertical bar, equals, square root of, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, end square root

Например абсолютната стойност на числото start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i е square root of, start color #11accd, 3, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.

Задача 1.1

Електричен ток

vertical bar, 3, plus, 7, i, vertical bar, equals

Отговорът трябва да е точно число.

Искаш да решиш още подобни задачи? Виж това упражнение.

Упражнение 2: намиране на ъгъла

За да намерим ъгъла на комплексно число, взимаме реципрочното на тангенс от частното на неговите части:

theta, equals, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, b, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction, right parenthesis

Това следва от използването на тригонометричните зависимости в правоъгълния триъгълник, образуван от числото и реалната ос.

Пример 1: Квадрант start text, I, end text

Да намерим ъгъла на числото start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i:

t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, 3, end color #11accd, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 53, degrees

Пример 2: Квадрант start text, I, I, end text

Да намерим ъгъла на числото start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i. Най-напред забележи, че start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i е във втори квадрант.

t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees

minus, 53, degrees е в квадрант start text, I, V, end text, а не в start text, I, I, end text. Трябва да добавим 180, degrees, за да получим срещуположния ъгъл:

minus, 53, degrees, plus, 180, degrees, equals, 127, degrees

Задача 2.1

Електричен ток

z, equals, 1, plus, 4, i

theta, equals

degrees
Ако е необходимо, закръгли отговора си с точност до десета. Изрази theta в градуси между minus, 180, degrees и 180, degrees.

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.

Упражнение 3: Алгебричен вид от абсолютна стойност и ъгъл

За да намерим реалната и имагинерната част на комплексно число, за което знаем неговата абсолютна стойност и ъгъл, умножаваме абсолютната стойност по синуса или косинуса на ъгъла:

start overbrace, start color #e07d10, r, end color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #11accd, a, end color #11accd, end superscript, plus, start overbrace, start color #e07d10, r, end color #e07d10, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #1fab54, b, end color #1fab54, end superscript, dot, i

Например това е алгебричният вид на комплексно число с абсолютна стойност start color #e07d10, 2, end color #e07d10 и ъгъл start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff:

start color #e07d10, 2, end color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis, plus, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis, i, equals, start color #11accd, square root of, 3, end square root, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, i

Задача 3.1

Електричен ток

vertical bar, z, start subscript, 1, end subscript, vertical bar, equals, 3 и theta, start subscript, 1, end subscript, equals, 20, degrees

z, start subscript, 1, end subscript, equals

i
Закръгли отговора си с точност до хилядните.

Искаш ли да опиташ с още задачи като тази? Виж това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.