Задача с повишена трудност с комплексни числа : комплексна детерминанта.

Нека омега е комплексното число косинус от 2/3 пи плюс i по синус от 2/3 пи. Търси се броят различни комплексни числа z, за които тази детерминанта е равна на 0. Имаме детерминанта 3 х 3, равна на 0. Нека я изчислим и да опитаме да намерим колко комплексни числа z отговарят на условието. Това е в същността си уравнение. Да изчислим детерминантата. Ако започнем с този член той е този член по детерминантата на тази подматрица 2 х 2. Това е z + 1 по z плюс омега на квадрат по z + омега минус 1. Това е детерминантата на подматрицата 2 х 2 ето тук и това е z + 1. Сега трябва да обърнем знаците. Ето. Поставяме минус отпред. действаме шахматно, когато определяме детерминанти. Минус омега по, блокираме този ред и колона, поддетерминантата е омега по z плюс омега. Нека умножа това. Това е z по омега + омега на втора минус омега на втора по 1. Това се получава добре. Вече имаме опростяване. Остава ни този омега на квадрат. Става плюс омега на квадрат по омега по едно, това е омега, минус омега на квадрат по z плюс омега. Става минус омега на втора z минус омега на четвърта. Не забравяй, този израз трябва да е равен на 0. Това цялото да е равно на 0. Да видим можем ли да опростим това. Първо ще умножа тези. z по z е z на квадрат. z по омега е z по омега. Омега на квадрат по z e oмега на квадрат по z. и накрая омега на квадрат по омега е омега на трета. Имаме и минус 1. Всичко това е умножено по z + 1. Ще продължа със синята част, защото вече се съсредоточих тук. Това е z по всичко това. z на трета плюс z на квадрат по омега плюс омега на втора по z на втора плюс омега на трета z минус z. Просто умножих по z. После плюс 1 по всичко. Плюс това отново: z на втора плюс z по омега плюс омега на втора по z плюс омега на трета минус 1. Да опростим това. Това в зелено се унищожава. остава само минус омега по z омега. Това е минус z по омега на втора. Накрая в лилаво имаме плюс омега на трета минус омега на трета по z... трябва да внимавам повече, това е омега на четвърта: имам омега на втора по омега на втора; умножено по z. После омега на втора по омега на четвърта, това е омега на шеста. Имаме минус. Значи минус омега на шеста. Разбира се, това трябва да е равно на 0. Да опитаме да го опростим. Да групираме по степен на z. Имаме z на трета тук. Това е единственото z на трета. После изкарваме z на втора пред скоби. Този член има z на втора, също и този, и този. Това са всички членове с втора степен. В скобите има омега на втора плюс омега плюс 1, умножено по z^2. Извадихме всички втори степени, подчертани с розово. Сега да се погрижим за членовете със z. Ще го направя в такъв цвят Това е член със z. Просто умножаваме по z. Това е член със z. И това. Също това Имаме ли още? Това тук също. Тези двата се унищожават, имаме минус z по омега на квадрат и плюс z по омега на квадрат. Значи правят нула. Остават тези три члена тук. В скобите имаме плюс омега на трета; този цвят е твърде близък, да внимавам да не объркам, имаме член с минус 1, но имаме и тази омега, значи плюс омега минус 1. Бях се объркал от бялото, защото е близко до розовото. омега на трета плюс омега минус едно, умножено по z. Да не забравям и това. Имаме и този член. Омега на четвърта по z. Нека оградя всички членове със z, за да не пропусна някой. Добавям омега на четвърта z. Ще го сложа тук. Не съм го подредил по низходящи степени, но не искам да пренаписвам всичко. Така вече имаме всички членове със z. Остават ни само константите спрямо z. Имаме плюс омега на трета два пъти. Тук и тук. Записваме ги. Минус омега на шеста. И накрая имаме минус 1. Всичко това е равно на 0. Това изглежда доста пипкаво, особено с тези омеги изразът си е сложен. Може би се досещаш, че това също може да се изрази експоненциално чрез формулата на Ойлер. Знаем, че е на степен i тета е равно на косинус от тета плюс i синус от тета. Омега може да се представи като е на степен 2/3 пи по i. Това е омега. Колко е е на степен 2/3 пи i? Можем да изчислим това тук. То е косинус от 2/3 пи... и можем да използваме единична окръжност, 2/3 пи отговаря на 120 градуса. Нека намеря стойностите чрез единичната окръжност. Правя всичко това, за да получа число тук и щв стане по-лесно да използвам степени на е на степен 2/3 пи i, отколкото това тук. Но ако използваме единичната окръжност и сме на 120 градуса тук, то това е 2/3 пи. Имаме ситуация. Този ъгъл е 60 градуса. Височината е корен от 3 върху 2. Нашата х координата е –1/2. ТОва е равно на -1/2. Косинус от 2/3 пи е –1/2. А синус от 2/3 пи е корен от 3 върху 2. Това е умножено по i. Значи плюс корен от 3 върху 2 по i. Това е омега. Да помислим за омега на втора. То е равно на това на втора степен. Това е е на степен, умножена по 2: 4/3 пи i. Просто умножихме степента по 2. Това става 240 градуса. Това е еквивалентно на това. Да го напиша. Това е косинус от 4 /3 пи плюс i по синус от 4/3 пи. Нашата х координата е същата. Тя е -1/2. Това е равно на –1/2. Нашата у координата е минус корен от 3 върху 2 i. Да помислим за омега на трета. Тя е равна на е на степен 2 пи i, което е равно на косинус от 2 пи плюс i по синус от 2 пи. Синус от 2 пи е 0. Косинус от 2 пи е 1. После имаме омега на четвърта. Това също се използва в тези изрази. То е равно на е на степен 8/3 пи i. Просто умножих степента по 4. Имах 2/3 и 4/3 пи. Тук е 6/3 пи, а 8/3 пи е тук. Това е същият ъгъл като 2/3 пи, значи стойността е същата. Минус 1/2 плюс корен от 3 върху 2 по i. Нямаме омега на пета, но имаме омега на шеста. Да го намерим. Това е омега на трета на квадрат. Омега на трета е 1. Значи е 1 на квадрат, което е 1. Вече нямаме омега. Да опростим израза. Дано се получи. Този израз омега на втора е равен на -1/2 минус корен от 3 върху 2 по i. Tова е омега на втора. Имаме плюс омега. Това е тук. –1/2 плюс корен от 3 върху 2 по i. После имаме плюс 1. Унищожават се корен от 3 върху 2 по i. Минус 1/2 – 1/2 е минус 1, плюс 1 също става нула. Целият този израз става нула. Можем да го премахнем. Това става нула. Да видим този. Това е омега на трета. Знаем, че е 1. плюс омега, която е –1/2 плюс корен от 3 върху 2 по i, минус 1. Минус омега на четвърта. Тя е същото като омега. Омега на четвърта е омега, минус самото себе си. Тези се унищожават. Омега на трета е 1. 1 и 1 се унищожават. Това също е 0. Вече е ясно. Накрая остава това. 2 по омега на трета, това е 2, минус омега на шеста е минус 1. имаме и минус 1 става 2 -1 -1 и е равно на нула. Цялата детерминанта се опрости до z на трета равно на нула. Единственото число, повдигнато на трета, независимо комплексно или друго, равно на нула е нула. Единственият отговор е z равно на нула. Но не ни питат това. Питат ни за броя на отговорите. Имаме само един. Значи броят е един.