Задача с повишена трудност с комплексни числа (2 от 3)

В последното видео видяхме, че отговор А е верен. Сега нека да видим дали B,C и D също са верни. В отговор "B" ни казват, че аргументът – нека го начертая тук в друг цвят. Отговор B: аргументът на z – z1 е равен на аргументa z – z2. Нека помислим малко за това. Ние вече опростихме на какво е равно (z – z1). Това е равно на t(z2 – z1). Това е еквивалентно на това да кажа, че аргументът на t(z2 – z1)... използвам част от изчисленията, които направихме. Понеже това е същото нещо като това в знака за абсолютна стойност, което е същото нещо като това тук. Тоест аргументът в t(z2 – z1) е равен на... просто преписвам твърдение В. Твърдение В казва, че това трябва да е равно на аргумента на... сега колко е z – z2? Открихме, че z – z2 беше това нещо тук. Всъщност е това нещо тук. Равно е на ето това. И можем да преобразуваме това като... свършва ми мястото тук. Можем да запишем, че това е равно на 1 – t, просто изнасям 1 – t, по (z1 – z2). Или можем да го поставим в същия вид тук, така че нека умножим това по –1 и това по –1. Умножавам два пъти по –1, така че не променям числото. Така че това ще е равно на... според твърдението, това е равно на аргумента на t – 1. Нека го запиша малко по-прилежно. Твърдението е, че това трябва да е равно на аргумента на (t – 1)(z2 – z1). Нека помислим върху това и помни, че всичко, което направих, беше да умножа това и това по –1. Aко умножа две неща по –1, това е равносилно на умножаване по –1 два пъти. Което е просто умножаване по 1, така че успях да преместя местата на тези двете. Вярно ли е това? Вярно ли е, че аргументът на t(z2 – z1) е същият като аргумента на (t – 1)(z2 – z1)? Нека помислим върху това. Нека начертаем диаграма на Арганд. Това е имагинерната ос, това е реалната ос. И нека начертаем векторно z2 – z1. Да кажем, че това тук е векторът на z2 – z1. Как ще изглежда t(z2 -z1)? t, както научихме, е между 0 и 1. Така че това ще е версия на z2 – z1 с намален мащаб. Кой знае какво е това? Това тук ще е t(z2 – z1). Как ще изглежда (t – 1)(z2 – z1)? t – 1, ако помниш, t е между 0 и 1. Така че t е по-малко от 1. Тоест t – 1 ще е отрицателно число. Така че ще мащабираме с отрицателно число. Ще умножим z2 – z1 по отрицателно число. Това ето тук... (t – 1)(z2 – z1) ще изглежда ето така. Това е (t – 1)(z2 – z1). Аргументите са просто ъглите между всяко от тези числа и реалната ос, така че аргументът за това тук ще е този ъгъл, това ще е φ (фи). Но колко е аргументът за това? Той ще е това плюс π или плюс 180 градуса. Трябва да изминем целия път около това. Така че ъглите не са еднакви. Каквото число е това тук, това число ще е плюс π или дори минус π. Но те определено не са еднакви ъгли. Можем да изключим отговор В. Докато сме в този режим, нека видим дали можем да се справим с отговор D, понеже той изглежда много подобен. И вероятно ще реша отговор С в следващото видео, понеже не искам да прекарвам прекалено много време във всяко видео. Какво ни казва отговор D? Нека го запиша тук долу. Отговор D ни казва... трябва да видим дали е вярно, че "Аргументът на z – z1 е равен на аргумента на z2 – z1." Нека помислим върху това. Вече намерихме на колко е равно z – z1. То е равно на това тук. Това твърдение е еквивалентно на твърдението, че аргументът на z – z1, който е t(z2 – z1) – ако си припомним изчисленията от предишното видео. t(z2 – z1). Равно ли е това на аргумента на z2 – z1? Нека отново начертаем диаграма на Агранд. Можем да използваме същата диаграма на Агранд в зелено. Имаме z2 – z1 и аргументът ще е този ъгъл ето тук. Ще е този ъгъл φ. Това е z2 – z1. Това е този ъгъл. t(z2 – z1) просто ще е версия на това, което имаме в оранжево, с намален мащаб. Очевидно t е положително, така че не сочи в друга посока, а това е просто версия на това с намален мащаб. Този вектор и този вектор или това комплексно число и това комплексно число ще сочат в еднаква посока. Ъглите им ще са еднакви. Този оранжев вектор тук или това оранжево комплексно число е това тук. Това е t(z2 – z1). А зеленият... да поясня, z2 – z1 е това. Те очевидно са в еднаква посока, очевидно имат еднакъв аргумент. Така че отговор D е още един верен отговор. Ще приключим тук и в следващото видео ще видим дали отговор С върши работа.