Тригонометричен вид на комплексни числа: преговор

Полярната фома на комплексните числа подчертава техните графични свойства: $\goldD{\text{абсолютна стойност}}$start color #e07d10, start text, а, б, с, о, л, ю, т, н, а, space, с, т, о, й, н, о, с, т, end text, end color #e07d10 (разстоянието от числото до началото на комплексната равнина) и $\purpleC{\text{ъгъл}}$start color #aa87ff, start text, ъ, г, ъ, л, end text, end color #aa87ff (ъгълът между числото и положителната посока на реалната ос). Те се наричат също и с термините $\goldD{\text{модул}}$start color #e07d10, start text, м, о, д, у, л, end text, end color #e07d10 и $\purpleC{\text{аргумент}}$start color #aa87ff, start text, а, р, г, у, м, е, н, т, end text, end color #aa87ff.

Забележи, че ако разкрием скобите в тригонометричния вид, ще получим алгебричния вид на числото:

Полярната форма е особено полезна при умножение и деление на комплексни числа:

Да изчислим $(1+\sqrt{3}i)^6$left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript. Първо преобразуваме в полярна форма:

$(1+\sqrt{3}i)=\goldD{2}(\cos\purpleC{60^\circ}+i\sin\purpleC{60^\circ})$left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, plus, i, sine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis

Сега използваме горното правило:

Да намерим решенията на уравнението $z^3=27$z, cubed, equals, 27. Най-напред определяме $r$r и $\theta$theta като абсолютната стойност и ъгъла на $z$z. Така $z^\blueD{3}$z, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript е равно на $r^\blueD{3}[\cos {(\blueD{3}\cdot\theta)}+i\sin {(\blueD{3}\cdot\theta)}]$r, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript, open bracket, cosine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, right parenthesis, close bracket.

Числото $27$27 може да се запише като $27[\cos(k\cdot360^\circ)+i\sin(k\cdot360^\circ)]$27, open bracket, cosine, left parenthesis, k, dot, 360, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, k, dot, 360, degrees, right parenthesis, close bracket.

От основното уравнение $z^3=27$z, cubed, equals, 27 получаваме две уравнения:

Решението на първото уравнение е $r=3$r, equals, 3. Решението на второто уравнение е $\theta=k\cdot 120^\circ$theta, equals, k, dot, 120, degrees, което има три отделни решения: $0^\circ$0, degrees, $120^\circ$120, degrees и $240^\circ$240, degrees. Те отговарят на следните три решения на основното уравнение: