If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Тригонометричен вид на комплексни числа: преговор

Преговори тригонометричния вид на комплексните числа и го използвай, за да умножаваш, делиш и да намираш степени на комплексни числа.

Какво е полярна форма?

start color #e07d10, r, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, plus, i, sine, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis
Полярната фома на комплексните числа подчертава техните графични свойства: start color #e07d10, start text, а, б, с, о, л, ю, т, н, а, space, с, т, о, й, н, о, с, т, end text, end color #e07d10 (разстоянието от числото до началото на комплексната равнина) и start color #aa87ff, start text, ъ, г, ъ, л, end text, end color #aa87ff (ъгълът между числото и положителната посока на реалната ос). Те се наричат също и с термините start color #e07d10, start text, м, о, д, у, л, end text, end color #e07d10 и start color #aa87ff, start text, а, р, г, у, м, е, н, т, end text, end color #aa87ff.
Забележи, че ако разкрием скобите в тригонометричния вид, ще получим алгебричния вид на числото:
Искаш ли да научиш повече за полярната форма на комплексните числа? Виж това видео.
Искаш ли да научиш повече за различните форми на представяне на комплексните числа? Виж този урок.
Искаш ли да научиш повече за преобразуването между правоъгълна и полярна форма? Виж този урок.

Упражнение 1: Умножение и деление в полярна форма

Полярната форма е особено полезна при умножение и деление на комплексни числа:
z1=r1(cosθ1+isinθ1)z2=r2(cosθ2+isinθ2)z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z1z2=r1r2[cos(θ1θ2)+isin(θ1θ2)]\begin{aligned} z_1&=\goldD{r_1}(\cos\purpleC{\theta_1}+i\sin\purpleC{\theta_1}) \\ z_2&=\goldD{r_2}(\cos\purpleC{\theta_2}+i\sin\purpleC{\theta_2}) \\ &\Downarrow \\ z_1z_2&=\goldD{r_1r_2}[\cos(\purpleC{\theta_1+\theta_2})+i\sin(\purpleC{\theta_1+\theta_2})] \\\\ \dfrac{z_1}{z_2}&=\dfrac{\goldD{r_1}}{\goldD{r_2}}[\cos(\purpleC{\theta_1-\theta_2})+i\sin(\purpleC{\theta_1-\theta_2})] \end{aligned}
Искаш ли да научиш повече за умножението и делението в полярна форма? Виж това видео.
Задача 1.1
w, start subscript, 1, end subscript, equals, 5, open bracket, cosine, left parenthesis, 15, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 15, degrees, right parenthesis, close bracket
w, start subscript, 2, end subscript, equals, 3, open bracket, cosine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis, close bracket
w, start subscript, 1, end subscript, dot, w, start subscript, 2, end subscript, equals

Отговорът ти трябва да е в полярна форма. Ъгълът трябва да е посочен в градуси.

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.

Упражнение 2: Степени на комплексни числа в полярна форма

z1=r1(cosθ1+isinθ1)(z1)n=(r1)n[cos(nθ1)+isin(nθ1)]\begin{aligned} z_1&=\goldD{r_1}(\cos\purpleC{\theta_1}+i\sin\purpleC{\theta_1}) \\ &\Downarrow \\ (z_1)^n&=(\goldD{r_1})^n[\cos(n\cdot\purpleC{\theta_1})+i\sin(n\cdot\purpleC{\theta_1})] \end{aligned}

Пример 1

Да изчислим left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript. Първо преобразуваме в полярна форма:
left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, plus, i, sine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis
Сега използваме горното правило:
=[2(cos60+isin60)]6=(2)6[cos(660)+isin(660)]=64(cos360+isin360)=64(1+i0)=64\begin{aligned} &\phantom{=}[\goldD{2}(\cos\purpleC{60^\circ}+i\sin\purpleC{60^\circ})]^6 \\\\ &=(\goldD 2)^6[\cos(6\cdot\purpleC{60^\circ})+i\sin(6\cdot\purpleC{60^\circ})] \\\\ &=64(\cos360^\circ+i\sin360^\circ) \\\\ &=64(1+i\cdot 0) \\\\ &=64 \end{aligned}

Пример 2

Да намерим решенията на уравнението z, cubed, equals, 27. Най-напред определяме r и theta като абсолютната стойност и ъгъла на z. Така z, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript е равно на r, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript, open bracket, cosine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, right parenthesis, close bracket.
Числото 27 може да се запише като 27, open bracket, cosine, left parenthesis, k, dot, 360, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, k, dot, 360, degrees, right parenthesis, close bracket.
От основното уравнение z, cubed, equals, 27 получаваме две уравнения:
r, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript, equals, 27
start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, equals, k, dot, 360, degrees
Решението на първото уравнение е r, equals, 3. Решението на второто уравнение е theta, equals, k, dot, 120, degrees, което има три отделни решения: 0, degrees, 120, degrees и 240, degrees. Те отговарят на следните три решения на основното уравнение:
z1=3z2=32+332iz3=32332i\begin{aligned} z_1&=3 \\\\ z_2&=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\sqrt 3}{2}i \\\\ z_3&=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3\sqrt 3}{2}i \end{aligned}
Задача 2.1
left parenthesis, square root of, 2, end square root, plus, square root of, 2, end square root, i, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript, equals

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.