Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 16

Урок 10: Умножение и деление на комплексни числа в тригонометричен вид

Онагледяване на умножението на комплексни числа

Разгледай умножението на комплексни числа като наблюдаваш графичното му представяне в комплексната равнина.

Как изглежда умножението с комплексни числа

Вече знаем как да умножаваме две комплексни числа, когато и двете са в правоъгълна или в полярна форма. Конкретно полярната форма за нас означава да умножим големините и да съберем ъглите:

\begin{aligned} &\phantom{=}r(\cos(\alpha) + i\sin(\alpha)) \cdot s(\cos(\beta) + i\sin(\beta))\\\\ & =rs[\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)] \end{aligned}

Едно голямо предимство на полярното представяне при умножение на комплексни числа е, че то улеснява онагледяването на нашето действие.

Какво става, когато умножим всяка точка от комплексната равнина по дадено комплексно число z? Ако z има полярна форма r, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis, то описаното по-горе правило ни показва, че за всяка точка от равнината разстоянието ѝ от центъра ще се мащабира по коефициента r и тя ще се завърти спрямо него с ъгъл theta.

Примери

За z, equals, square root of, 3, end square root, plus, i, equals, 2, left parenthesis, cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, right parenthesis умножението по z ще има за резултат мащабиране по 2 и ротация от 30, degrees, ето така:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

При z, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction абсолютната стойност на z е

square root of, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, squared, end square root, equals, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 3, end fraction

и ъгълът му е minus, 45, degrees, затова умножението по z ще мащабира всичко по start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 3, end fraction, approximately equals, 0, comma, 471, което е намаляване, и ще приложи ротация от minus, 45, degrees спрямо началото, което е ротация по часовниковата стрелка.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

За z, equals, minus, 2, което има абсолютна стойност 2 и ъгъл от 180, degrees, умножението завърта с половин оборот около началото и мащабира по 2.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Има и друг начин да мислим за тези трансформации и като цяло за умножението с комплексни числа. Той е да отбележим точката на числото 1 и точката на числото z, за да отбележим как умножението по z премества точката за 1 до началната точка на z, тъй като z, dot, 1, equals, z. Трябва да местим така, че началото да си остава на мястото, защото z, dot, 0, equals, 0.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Интересно е, нали? Съвсем прости факти като z, dot, 1, equals, z и z, dot, 0, equals, 0 могат да са толкова полезни в онагледяването на умножението с комплексни числа!

Нагледно представяне на комплексни спрегнати

Да видим какво се случва, когато умножим равнината по някакво комплексно число z, а после я умножим и по неговото спрегнато z, with, \bar, on top:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Ако ъгълът на z е theta, то ъгълът на спрегнатото му число z, with, \bar, on top ще е minus, theta, следователно двете последователни умножения няма да направят ротация. Можем да видим това и по точката, която започва на числото 1 и накрая се намира пак на оста на реалните числа в положителна посока.

А какво се случва с големината? И двете числа имат една и съща абсолютна стойност, vertical bar, z, vertical bar, equals, vertical bar, z, with, \bar, on top, vertical bar, затова ефектът от умножението по z и после по z, with, \bar, on top ще е всичко да се мащабира поvertical bar, z, vertical bar, dot, vertical bar, z, with, \bar, on top, vertical bar, equals, vertical bar, z, vertical bar, squared.

Разбира се, това е достатъчно просто да се види от формулите, тъй като left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, equals, a, squared, plus, b, squared, equals, vertical bar, a, plus, b, i, vertical bar, squared. Но е особено показателно да го видим в действие!

Как изглежда делението с комплексни числа

Какво се получава, ако разделим всяко число от комплексната равнина на z? Ако z има ъгъл theta и абсолютна стойност r, то делението ще има обратен ефект на умножението: ще приложи ротация по ъгъл minus, theta и ще машабира по start fraction, 1, divided by, r, end fraction (което означава да го намали r пъти).

Пример 1: деление на square root of, 3, end square root, plus, i

Ъгълът на square root of, 3, end square root, plus, i е 30, degrees, а неговата абсолютна стойност е 2, затова всичко се завърта с minus, 30, degrees, което е по часовниковата стрелка и се мащабира по start fraction, 1, divided by, 2, end fraction (което значи да се намали 2 пъти).

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Пример 2: деление на start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction

Ъгълът на start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction е minus, 45, degrees, а неговата абсолютна стойност е

Затова ротацията е с plus, 45, degrees, а мащабирането е по start fraction, 3, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, approximately equals, 2, comma, 121.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Вероятно забеляза, че тези трансформации могат да се разглеждат и като преместване на точката, където в началото е z, и поставянето ѝ върху точката на 1.

Връзка между онагледяването и формулата при деление с комплексни числа

За да изчислим start fraction, z, divided by, w, end fraction, където z, equals, a, plus, b, i и w, equals, c, plus, d, i, ние научихме да умножим и числителя и знаменателя по комплексното спрегнато на w, това е числото start overline, w, end overline, equals, c, minus, d, i.

start fraction, z, divided by, w, end fraction, equals, start fraction, a, plus, b, i, divided by, c, plus, d, i, end fraction, equals, start fraction, a, plus, b, i, divided by, c, plus, d, i, end fraction, dot, start fraction, c, minus, d, i, divided by, c, minus, d, i, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, c, minus, d, i, right parenthesis, divided by, c, squared, plus, d, squared, end fraction, equals, start fraction, z, dot, start overline, w, end overline, divided by, vertical bar, w, vertical bar, squared, end fraction

С други думи, делението на w е същото като умножение по start fraction, start overline, w, end overline, divided by, vertical bar, w, vertical bar, squared, end fraction. Има ли нагледен начин да си представим това?

Да приемем, че w има ъгъл theta и абсолютна стойност r. Тогава за да разделим на w, трябва да приложим ротация по ъгъла minus, theta и да мащабираме по start fraction, 1, divided by, r, end fraction. Тъй като неговото спрегнато start overline, w, end overline има ъгъл, противоположен на ъгъла на w, умножаването по start overline, w, end overline ще завърти по minus, theta, също както търсим тук. Обаче умножаването по start overline, w, end overline мащабира всичко по r и за да компенсираме това, трябва да разделим на r, squared, equals, vertical bar, w, vertical bar, squared.

Например ето така изглежда разделянето на 1, plus, 2, i директно:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

А така изглежда, когато първо умножим по неговото спрегнато, 1, minus, 2, i, и след това разделим на квадрата на големината му vertical bar, 1, plus, 2, i, vertical bar, squared, equals, 5.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия