Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 16

Урок 10: Умножение и деление на комплексни числа в тригонометричен вид

Онагледяване на степени на комплексни числа

Разгледай степенуването на комплексните числа като наблюдаваш графичното им представяне в комплексната равнина.

Връзка между i, squared, equals, minus, 1 и мястото на i

Започнахме нашето проучване на света на комплексните числа с въвеждането на измисленото число i, което е решение на уравнението i, squared, equals, minus, 1. По-късно го представихме графично над оста на реалните числа, една единица над 0. От графиките в предишния урок виждаме защо тази точка е естествено място на число, чийто квадрат е minus, 1.

Виж как умножението по i завърта на 90, degrees спрямо началото:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Можеш да си го обясниш със свойствата на i: абсолютна стойност 1 и ъгъл 90, degrees или с това, че такова завъртане е единственият начин да завъртим координатната система (като началото остава в 0), за да поставим 1 на първоначалното място на i.

Какво ще се случи, ако умножим всичко от равнината по i два пъти?

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Това действие отговаря на завъртане със 180, degrees около началото, което е умножение по minus, 1. Това е логично, защото умножаването два пъти по i означава умножаване по i, squared, което е minus, 1.

Интересно е да помислим как ако бяхме опитали да поставим i на друго място, запазвайки свойството му да отговаря на определението си i, squared, equals, minus, 1, нямаше да получим толкова ясно онагледяване на комплексното умножение.

Степени на комплексни числа

Да се поупражним още малко с последователно умножаване по дадено комплексно число.

Пример 1: left parenthesis, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, right parenthesis, cubed

Дадено е числото z, equals, 1, plus, i, square root of, 3, end square root с абсолютна стойност square root of, 1, squared, plus, left parenthesis, square root of, 3, end square root, right parenthesis, squared, end square root, equals, 2 и ъгъл 60, degrees. Какво ще се получи, ако умножим всичко в равнината по z три пъти един след друг?

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Всичко ще се увеличи по коефициента 2 три пъти, значи общо се увеличава по 2, cubed, equals, 8. По същия начин, три пъти последователно ще се завърти с по 60, degrees, което прави общо завъртане от 180, degrees. Накрая резултатът ще е същият като умножение по minus, 8, следователно left parenthesis, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, right parenthesis, cubed, equals, minus, 8.

Можем да получим същия резултат и с алгебрични преобразувания:

$\begin{aligned} &\phantom{=}\left(2(\cos(60^\circ) + i\sin(60^\circ)) \right)^3\\\\ &= 2^3 ( \cos(60^\circ + 60^\circ + 60^\circ) + i\sin(60^\circ + 60^\circ + 60^\circ) \\\\\ &= 8(\cos(180^\circ) + i\sin(180^\circ)) \\\\ &= -8 \end{aligned}$

Пример 2: left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript

Сега да умножим всичко от равнината по left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis осем последователни пъти:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Тъй като големината на 1, plus, i е

vertical bar, 1, plus, i, vertical bar, equals, square root of, 1, squared, plus, 1, squared, end square root, equals, square root of, 2, end square root,

То всичко ще се мащабира с осем пъти по square root of, 2, end square root, което е общо мащабиране по left parenthesis, square root of, 2, end square root, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript, equals, 2, start superscript, 4, end superscript, equals, 16.

Тъй като ъгълът на left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis е 45, degrees, то общото завъртане на равнината е 8, dot, 45, degrees, equals, 360, degrees, което е същото като да не направим никакво завъртане. Следователно left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript, equals, 16.

Можем да видим същото и чрез алгебра:

\begin{aligned} &\phantom{=}(1 + i)^8 \\\\ &= \left(\sqrt{2}\cdot(\cos(45^\circ) + i \sin(45^\circ) \right)^8 \\ &= (\sqrt{2})^8 \cdot \left( \cos(\underbrace{45^\circ + \cdots + 45^\circ}_{\text{$8$ пъти}}) + i\sin(\underbrace{45^\circ + \cdots + 45^\circ}_{\text{$8$ пъти}}) \right) \\\\ &= 16 \left(\cos(360^\circ) + i\sin(360^\circ) \right) \\\\ &= 16 \end{aligned}

Пример 3: z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1

Сега да си зададем въпроса в обратна посока: има ли такова число z, за което като умножим всичко от равнината по z пет пъти един след друг, то всичко ще си бъде на същото място? Или, с други думи, можем ли да решим уравнението z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1? Един очевиден отговор е z, equals, 1, но нека да опитаме да намерим и други такива числа.

Най-напред да заключим, че големината на такова число трябва да е 1: ако тя е по-голяма от 1, то равнината все ще се разширява, докато ако е по-малка от 1, то тя ще се стеснява. При завъртането обаче имаме друг филм, тъй като се иска да се стигне до началното положение след няколкото завъртания. Това може да стане с ъгъл на завъртане от start fraction, 1, divided by, 5, end fraction от целия кръг, ето така:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

5 последователни такива завъртания ще ни върнат в началното положение.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Числото, което завърта равнината по такъв начин, е cosine, left parenthesis, 72, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 72, degrees, right parenthesis, тъй като start fraction, 360, degrees, divided by, 5, end fraction, equals, 72, degrees.

Има и други решения, например завъртане от start fraction, 2, divided by, 5, end fraction от целия кръг:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

или start fraction, 1, divided by, 5, end fraction от кръга, но в обратна посока:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Всъщност решенията на уравнението образуват красив петоъгълник на единичната окръжност:

Пример 4: z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27

С уравнението z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27 се търси комплексно число z, за което като умножим равнината 6 последователни пъти по него, то тя ще се увеличи по 27 и завърти с 180, degrees, тъй като минусът отговаря на завъртане от 180, degrees.

Число, което ще мащабира равнината по 27 след 6 умножения, трябва да има големина root, start index, 6, end index, equals, square root of, 3, end square root, а един от начините на завъртане, по който да се получат 180, degrees след 6 приложения, е да се завърти по start fraction, 180, degrees, divided by, 6, end fraction, equals, 30, degrees. Следователно едно от решенията на уравнението z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27 е числото

\begin{aligned} \sqrt{3}(\cos(30^\circ) + i\sin(30^\circ)) &= \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

Но то има и други възможни решения! Всъщност тези решения образуват правилен шестоъгълник по окръжността с радиус square root of, 3, end square root:

Виждаш ли защо е така?

Решаване на z, start superscript, n, end superscript, equals, w в общия случай

Нека да обобщим последните два примера. Ако са ни дадени стойностите за w и n и се търси да намерим z, както в последния пример имахме n, equals, 6 и w, equals, minus, 27, то най-напред намираме тригонометричното представяне на числото w:

w, equals, r, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis

Това означава, че ъгълът на числото z е start fraction, theta, divided by, n, end fraction и неговата големина е root, start index, n, end index, защото по този начин умножението по z общо n последователни пъти ще доведе до завъртане с ъгъл theta и мащабиране по r, каквото ще се случи и при умножение по w. Имаме:

z, equals, root, start index, n, end index, dot, left parenthesis, cosine, left parenthesis, start fraction, theta, divided by, n, end fraction, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start fraction, theta, divided by, n, end fraction, right parenthesis, right parenthesis

За да намерим и останалите решения на уравнението използваме това, че ъгълът theta може да се вземе и като theta, plus, 2, pi или theta, plus, 4, pi или theta, plus, 2, k, pi за всяко цяло число k, тъй като те всички отговарят на един и същ ъгъл. Това е важно за нас, тъй като стойността на start fraction, theta, divided by, n, end fraction може да се промени, като на мястото на theta сложим theta, plus, 2, pi, k преди да разделим. Всички решения ще имат следната форма:

z, equals, root, start index, n, end index, dot, left parenthesis, cosine, left parenthesis, start fraction, theta, plus, 2, k, pi, divided by, n, end fraction, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start fraction, theta, plus, 2, k, pi, divided by, n, end fraction, right parenthesis, right parenthesis

за някоя целочислена стойност на k. Тези решения ще са различни, когато k е в интервала от 0 до n, minus, 1 включително. За k, equals, n можем да забележим, че ъгълът start fraction, theta, plus, 2, n, pi, divided by, n, end fraction, equals, start fraction, theta, divided by, n, end fraction, plus, 2, pi става равен на start fraction, theta, divided by, n, end fraction, защото разликата им е в едно пълно завъртане. Следователно намираме всички решения на уравнението, като вземем за стойности на k целите числа в интервала от 0 до n, minus, 1 включително.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 16

Връзка между i2=−1i^2 = -1i2=−1i, squared, equals, minus, 1 и мястото на iiii

Степени на комплексни числа

Пример 1: (1+i3)3(1 + i\sqrt{3})^3(1+i3​)3left parenthesis, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, right parenthesis, cubed

Пример 2: (1+i)8(1 + i)^8(1+i)8left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript

Пример 3: z5=1z^5 = 1z5=1z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1

Пример 4: z6=−27z^6 = -27z6=−27z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27

Решаване на zn=wz^n= wzn=wz, start superscript, n, end superscript, equals, w в общия случай

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Връзка между i, squared, equals, minus, 1 и мястото на i

Пример 1: left parenthesis, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, right parenthesis, cubed

Пример 2: left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript

Пример 3: z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1

Пример 4: z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27

Решаване на z, start superscript, n, end superscript, equals, w в общия случай