Основно съдържание
Алгебра (цялото съдържание)
Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 16
Урок 10: Умножение и деление на комплексни числа в тригонометричен вид- Деление на комплексни числа: тригонометричен и експоненциален вид
- Онагледяване на умножението на комплексни числа
- Умножение и деление на комплексни числа в тригонометричен вид
- Степенуване на комплексни числа
- Уравнения с комплексни корени: x³=1
- Онагледяване на степени на комплексни числа
- Тригонометричен вид на комплексни числа: преговор
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Деление на комплексни числа: тригонометричен и експоненциален вид
Сал демонстрира как деленето на комплексни числа се отразява на модула и аргумента на делимото и на делителя. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Този сложен израз
е частното на комплексното число
в синьо и другото комплексно число
в зелено. И двете числа са записани в
тригонометрична форма, а тук виждаме
графиките им. Първото число е 7 по косинус от 7 пи върху 6 плюс i по синус от
7 пи върху 6. Виждаме, че неговият ъгъл в полярни координати
е 7 пи върху 6: като започнем от положителната
посока на реалната ос, въртим със 7 пи върху 6 радиана обратно на часовника, за да стигнем до този лъч. Разстоянието от началото е 7 мерни единици, отмерваме ги и получаваме тази точка. Второто число има ъгъл 7 по върху 4, това ни довежда
чак дотук: ще го начертая по-малко, тъй като разстоянието е по-малко; започвам от тук и стигам до тук, до тази точка. Разстоянието от началото
е едно, можеш спокойно да сложиш
тук 1 пред скоби. Искаме да разделим тези двете и те приканвам да оставиш
видеото на пауза, за да опиташ самостоятелно да намериш частното
и неговата графика от синьото върху зеленото
комплексно число. Сигурно ти стана ясно, че ако опиташ да разделиш
тези изрази директно, ще стане доста по-сложно
и по-добър начин е да ги преобразуваме
в друга форма. Може би се сещаш, че експоненциалната форма
е много по-лесна. Можем да преобразуваме този израз като използваме
формулата на Ойлер до е на степен
7 пи върху 6 по i. Това е в степента. На това е равен този израз. Значи цялото комплексно число
от числителя може да се представи като
7 е на степен 7 пи върху 6 по i. Комплексното число
от знаменателя може да се представи,
можем да пропуснем 1 пред скобите, в експоненциална форма като е на степен
7 пи върху 4 по i. Това е приложение
на формулата на Ойлер. След като разписахме
израза така, можем да го опростим чрез
свойствата на степените. Имаме една и съща основа,
следоветелно можем да извадим степента в знаменателя
от степента в числителя. Коефициентът е равен на 7, разделено на 1,
само 7. Имаме 7 по е на степен, нека го запиша
в по-ярък цвят: 7 по е на степен
7 пи върху 6 по i минус 7 пи върху 4 по i: това цялото е степента
на е. На какво е равно това? Имам 7/6 пи по нещо и вадя 7/4 пи по същото. Колко е разликата? Нека разпиша тази част отделно, тя се занимава с изваждане на дроби. Мога да ги приведа под общ знаменател 12: това е най-малкото общо кратно на 6 и 4. Преобразувам тази дроб
като умножа по 2 горе и долу: тя става 14 пи по i върху 12,
минус втората: умножавам числителя
и знаменателя ѝ по три, става минус 21 пи по i
отново върху 12. Нали? Просто умножих числителите и знаменателите
по едни и същи числа. Да изчислим разликата. В знаменателя имам 12. 14 пи по i
минус 21 пи по i прави –7 пи по i
в числителя. Значи нашата дроб
е равна на 7 по е на степен -7 пи по i
върху 12. Сега да опитаме
да начертаем това число. Виж как е разделен всеки от тези квадранти на шест сегмента. Този квадрант е разделен
на 6 равни ъгъла. Целият квадрант
е 1/2 пи, следователно всеки сегмент
е 1/12 пи. Големината на всеки
от тези малки ъгли е 1/12 пи. Ъгълът на нашето число
е -7/12 пи. Това е в отрицателна посока спрямо положителната посока
на реалната ос, което е по часовниковата стрелка. Започвам тук и изброявам 7 деления, 12 деления са дотук. Правилно ли е? Май не. Да проверя,
имам минус седем, всяко от тези е 1/12 пи, искам 7 такива сегмента, а целият полукръг е равен на пи... В него има общо 12 сегмента, всеки от тях е 1/12 от пи, а аз искам да получа
–7 по 1/12 пи. Изброявам 7 сегмента по часовниковата стрелка и спирам тук, преди бях продължил до –12. Ето това е нашият ъгъл. Разстоянието от началото
до числото е равно на коефициента 7: изброявам 7 деления
до тази точка. Частното от тези две
комплексни числа е тази точка на графиката,
която отговаря на комплексното число
7 по е на степен –7/12 пи по i. Бихме могли да го преобразуваме в тригонометрична форма. То е равно на 7 по
косинус от –7/12 пи плюс i по синус от –7/12 пи.