Деление на комплексни числа: тригонометричен и експоненциален вид

Този сложен израз е частното на комплексното число в синьо и другото комплексно число в зелено. И двете числа са записани в тригонометрична форма, а тук виждаме графиките им. Първото число е 7 по косинус от 7 пи върху 6 плюс i по синус от 7 пи върху 6. Виждаме, че неговият ъгъл в полярни координати е 7 пи върху 6: като започнем от положителната посока на реалната ос, въртим със 7 пи върху 6 радиана обратно на часовника, за да стигнем до този лъч. Разстоянието от началото е 7 мерни единици, отмерваме ги и получаваме тази точка. Второто число има ъгъл 7 по върху 4, това ни довежда чак дотук: ще го начертая по-малко, тъй като разстоянието е по-малко; започвам от тук и стигам до тук, до тази точка. Разстоянието от началото е едно, можеш спокойно да сложиш тук 1 пред скоби. Искаме да разделим тези двете и те приканвам да оставиш видеото на пауза, за да опиташ самостоятелно да намериш частното и неговата графика от синьото върху зеленото комплексно число. Сигурно ти стана ясно, че ако опиташ да разделиш тези изрази директно, ще стане доста по-сложно и по-добър начин е да ги преобразуваме в друга форма. Може би се сещаш, че експоненциалната форма е много по-лесна. Можем да преобразуваме този израз като използваме формулата на Ойлер до е на степен 7 пи върху 6 по i. Това е в степента. На това е равен този израз. Значи цялото комплексно число от числителя може да се представи като 7 е на степен 7 пи върху 6 по i. Комплексното число от знаменателя може да се представи, можем да пропуснем 1 пред скобите, в експоненциална форма като е на степен 7 пи върху 4 по i. Това е приложение на формулата на Ойлер. След като разписахме израза така, можем да го опростим чрез свойствата на степените. Имаме една и съща основа, следоветелно можем да извадим степента в знаменателя от степента в числителя. Коефициентът е равен на 7, разделено на 1, само 7. Имаме 7 по е на степен, нека го запиша в по-ярък цвят: 7 по е на степен 7 пи върху 6 по i минус 7 пи върху 4 по i: това цялото е степента на е. На какво е равно това? Имам 7/6 пи по нещо и вадя 7/4 пи по същото. Колко е разликата? Нека разпиша тази част отделно, тя се занимава с изваждане на дроби. Мога да ги приведа под общ знаменател 12: това е най-малкото общо кратно на 6 и 4. Преобразувам тази дроб като умножа по 2 горе и долу: тя става 14 пи по i върху 12, минус втората: умножавам числителя и знаменателя ѝ по три, става минус 21 пи по i отново върху 12. Нали? Просто умножих числителите и знаменателите по едни и същи числа. Да изчислим разликата. В знаменателя имам 12. 14 пи по i минус 21 пи по i прави –7 пи по i в числителя. Значи нашата дроб е равна на 7 по е на степен -7 пи по i върху 12. Сега да опитаме да начертаем това число. Виж как е разделен всеки от тези квадранти на шест сегмента. Този квадрант е разделен на 6 равни ъгъла. Целият квадрант е 1/2 пи, следователно всеки сегмент е 1/12 пи. Големината на всеки от тези малки ъгли е 1/12 пи. Ъгълът на нашето число е -7/12 пи. Това е в отрицателна посока спрямо положителната посока на реалната ос, което е по часовниковата стрелка. Започвам тук и изброявам 7 деления, 12 деления са дотук. Правилно ли е? Май не. Да проверя, имам минус седем, всяко от тези е 1/12 пи, искам 7 такива сегмента, а целият полукръг е равен на пи... В него има общо 12 сегмента, всеки от тях е 1/12 от пи, а аз искам да получа –7 по 1/12 пи. Изброявам 7 сегмента по часовниковата стрелка и спирам тук, преди бях продължил до –12. Ето това е нашият ъгъл. Разстоянието от началото до числото е равно на коефициента 7: изброявам 7 деления до тази точка. Частното от тези две комплексни числа е тази точка на графиката, която отговаря на комплексното число 7 по е на степен –7/12 пи по i. Бихме могли да го преобразуваме в тригонометрична форма. То е равно на 7 по косинус от –7/12 пи плюс i по синус от –7/12 пи.