Степенуване на комплексни числа

Имам комплексното число косинус от 2/3 пи плюс i по синус от 2/3 пи. Искам да го повдигна на степен 20. Първо искам да начертая числото в синьо в комплексната равнина и после да намеря неговата 20-та степен и да начертая и нея. Приканвам те да поставиш видеото на пауза, за да опиташ самостоятелно. Първо да анализираме комплексното число в синьо. То очевидно е записано в тригонометричен вид. Ъгълът, наричан още аргумент, е 2/3 пи радиана. Абсолютната стойност, или модулът му е 1. За по-ясно можеш да го разпишеш в стандартния тригонометричен вид, където модулът е отпред. То е едно по косинус от 2/3 ппи плюс i по синус от 2/3 пи. Може да се напише така. Тук се вижда, че ъгълът (аргументът) е 2/3 пи. Нека го начертаем. Тук е нула, а тук е пи, искаме 2/3 от полукръга до пи. Този полукръг е разделен на 12 сегмента, всеки от които е 1/12 пи. 2/3 от полукръга са 8 такива сегмента, отброявам ги до тук. Сигурен съм в това, защото 2/3 пи е равно на 8 по 1/12 пи, а всеки от тези сегменти е 1/12 пи, затова просто изброих 8 от тях. Тази точка е това число, а сега да го повдигнем на степен 20. За това ще използваме формулата на Ойлер. Сигурно си спомняш, че тя гласи: е на степен i по тета е равно на косинус от тета плюс i по синус от тета. Това е вече написаното число в тригонометричен вид, където тета е 2/3 пи. Можем да преобразуваме числото в синьо като е на степен 2/3 пи по i. Повдигаме го на степен 20. Този вид на представяне много ни улеснява, защото повдигането на тригонометричния вид на степен 20 щеше да означава умножение на 20 такива израза, което щеше да стане много, много сложно. А тук мога да приложа свойствата на степените, за да намеря степента на е. Когато повдигна нещо на степен и после на друга степен, просто умножавам двете степени. Това е е на степен 20 по 2/3 пи по i, или е на степен 40/3 пи по i. Това е това число на степен 20. Но този ъгъл е твърде голям. Ъгълът е 40/3 пи, ще се опитам да си представя 40/3 по пи. 40 делено на 3 е 13 и остава 1/3. Ъгълът е равен на 13 и 1/3 по пи. Знаем, че 2 пи радиана е една обиколка на окръжността, значи тук са над шест обиколки: шест пъти се завърта по цялата окръжност, докато накрая стигне до нашата точка. За да опростя това, ще извадя най-голямото кратно на 2 пи, което се съдържа в това число, за да получа възможно най-малък ъгъл. Знаем, че всеки ъгъл е равен на себе си + k по 2 пи, където k е произволно цяло число. k може да е и отрицателно. Значи можем да вадим кратни на 2 пи. Най-голямото кратно на 2 пи, което мога да извадя от тук, е 12 пи. Ще извадя 12 пи от това число. Ще го разпиша тук долу. 13 и 1/3 пи минус 12 пи. Припомням, че вадя възможно най-голямото кратно на 2 пи. Вадя 12 пи, което е... 13 и 1/3 минус 12 е 1 и 1/3. Имам 1 и 1/3 пи, което мога да запиша като 4/3 пи. Това комплексно число става равно на е на степен 4/3 пи по i. Така вече е по-лесно да го начертая. 4/3 пи е равно на 1 и 1/3 пи. Ето дотук имам пи, трябва да добавя още 1/3 пи, всяко от тези е 1/12 пи. 1/3 е равна на 4/12, трябват ни 4 сегмента. Ето тук. Това число на степен 20 е равно на това, еквивалентно на това, което начертахме тук. Ами ако искахме да го повдигнем на степен 21? Тогава щяхме да увеличим ъгъла с още 2/3 пи, което са 8 пъти по 1/12 пи. Отброявам 8 сегмента, числото щеше да е ето тук. Как се обяснява това? Тук е числото на първа степен, записано е в синьо. Като го повдигнеш на втора степен, увеличаваш ъгъла му с 2/3 пи и стигаш до тази точка. На трета степен ъгълът му се увеличава с още 2/3 пи и стига до тази точка. На четвърта степен стигаме пак тук, и повтаряме с всяка следваща степен до 20-та степен, която стига тук.