Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 16

Урок 5: Умножение на комплексни числа

Умножение на комплексни числа

Научи как да умножиш две комплексни числа. Например умножи (1+2i)⋅(3+i).

Комплексно число е всяко число, което може да бъде написано като

a + b i

, където

i

е имагинерната единица, а

a

b

са реални числа.

Когато умножаваме комплексни числа, е полезно да запомним, че свойствата, които използваме при извършването на аритметични действия с реални числа, действат по подобен начин при комплексните числа.

Понякога разглеждането на

i

като променлива, подобна на

x

, е полезно. Тогава само с няколко корекции в края можем да умножим точно по начина, по който сме очаквали да го направим. Нека разгледаме по-подробно това, като решим няколко примера.

Умножение на реално по комплексно число.

Пример

Умножи

- 4 п о (13 + 5 i)

. Представи полученото число във вида

a + b i

Решение

Ако инстинктът ти подсказва да разкриеш скобите и да умножиш по

- 4

, това е правилно! Да го направим!

\begin{aligned} - 4 (13 + 5 i) & = - 4 (13) + (- 4) (5 i) \\ = - 52 - 20 i \end{aligned}

Това е всичко! Използвахме разпределителното свойство, за да умножим едно реално число по комплексно число. Нека опитаме нещо малко по-сложно.

Умножение на имагинерно число по комплексно число

Пример

Умножи

2 i п о (3 - 8 i)

. Представи полученото число във вида

a + b i

Решение

Отново ще започнем с разкриване на скобите и умножаване на

2 i

по всеки член в скобите.

\begin{aligned} 2 i (3 - 8 i) & = 2 i (3) - 2 i (8 i) \\ = 6 i - 16 i^{2} \end{aligned}

На този етап отговорът не е във вида

a + b i

, тъй като съдържа

i^{2}

Знаем обаче, че

i^{2} = - 1

. Нека заместим и да видим докъде ще ни отведе това.

\begin{aligned} = 6 i - 16 i^{2} \\ = 6 i - 16 (- 1) \\ = 6 i + 16 \end{aligned}

Като използваме комутативното свойство, можем да представим отговора като

16 + 6 i

и по този начин получаваме

2 i (3 - 8 i) = 16 + 6 i

Провери знанията си

Задача 1

Умножи $3 п о (- 2 + 10 i)$ ‍.
Представи отговора си във вида $a + b i$ ‍.

[Имам нужда от помощ!]

Задача 2

Умножи $- 6 i п о (5 + 7 i)$ ‍.
Представи отговора си във вида $a + b i$ ‍.

[Имам нужда от помощ!]

Чудесно! Сега сме готови да продължим дори още по-нататък! Това, което следва, е най-типичният случай, който ще видиш, когато трябва да умножаваш комплексни числа.

Умножаване на две комплексни числа

Пример

Извърши умножението:

(1 + 4 i) (5 + i)

. Представи полученото число във вида

a + b i

Решение

В този пример някои намират за много полезно да разглеждат

i

като променлива.

Всъщност процесът на умножение на тези две комплексни числа е много подобен на умножението на два двучлена! Умножи всеки член на първото число по всеки член на второто число.