If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 16

Урок 5: Умножение на комплексни числа
Математика
Алгебра (цялото съдържание)
Комплексни числа
Умножение на комплексни числа
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Умножение на комплексни числа

Класна стая на Google
Научи как да умножиш две комплексни числа. Например умножи (1+2i)⋅(3+i).
Комплексно число е всяко число, което може да бъде написано като start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, където i е имагинерната единица, а start color #1fab54, a, end color #1fab54 и start color #11accd, b, end color #11accd са реални числа.
Когато умножаваме комплексни числа, е полезно да запомним, че свойствата, които използваме при извършването на аритметични действия с реални числа, действат по подобен начин при комплексните числа.
Понякога разглеждането на i като променлива, подобна на x, е полезно. Тогава само с няколко корекции в края можем да умножим точно по начина, по който сме очаквали да го направим. Нека разгледаме по-подробно това, като решим няколко примера.

Умножение на реално по комплексно число.

Пример

Умножи minus, 4, space, п, о, left parenthesis, 13, plus, 5, i, right parenthesis. Представи полученото число във вида a, plus, b, i.

Решение

Ако инстинктът ти подсказва да разкриеш скобите и да умножиш по minus, 4, това е правилно! Да го направим!
−4(13+5i)=−4(13)+(−4)(5i)=−52−20i\begin{aligned}\tealD{-4}(13+5i)&=\tealD{-4}(13)+\tealD{(-4)}(5i)\\ \\ &=-52-20i \end{aligned}
Това е всичко! Използвахме разпределителното свойство, за да умножим едно реално число по комплексно число. Нека опитаме нещо малко по-сложно.

Умножение на имагинерно число по комплексно число

Пример

Умножи 2, i, space, п, о, space, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis. Представи полученото число във вида a, plus, b, i.

Решение

Отново ще започнем с разкриване на скобите и умножаване на 2, i по всеки член в скобите.
2i(3−8i)=2i(3)−2i(8i)=6i−16i2\begin{aligned}\tealD{2i}(3-8i)&=\tealD{2i}(3)-\tealD{2i}(8i)\\ \\ &=6i-16i^2 \end{aligned}
На този етап отговорът не е във вида a, plus, b, i, тъй като съдържа i, squared.
Знаем обаче, че start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10. Нека заместим и да видим докъде ще ни отведе това.
2i(3−8i)=6i−16i2=6i−16(−1)=6i+16\begin{aligned}\phantom{\tealD{2i}(3-8i)} &=6i-16\goldD{i^2}\\ \\ &=6i-16(\goldD{-1})\\ \\ &=6i+16\\ \end{aligned}
Като използваме комутативното свойство, можем да представим отговора като 16, plus, 6, i и по този начин получаваме 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis, equals, 16, plus, 6, i.

Провери знанията си

Задача 1

Умножи 3, space, п, о, space, left parenthesis, minus, 2, plus, 10, i, right parenthesis.
Представи отговора си във вида a, plus, b, i.

Задача 2

Умножи minus, 6, i, space, п, о, space, left parenthesis, 5, plus, 7, i, right parenthesis.
Представи отговора си във вида a, plus, b, i.

Чудесно! Сега сме готови да продължим дори още по-нататък! Това, което следва, е най-типичният случай, който ще видиш, когато трябва да умножаваш комплексни числа.

Умножаване на две комплексни числа

Пример

Извърши умножението: left parenthesis, 1, plus, 4, i, right parenthesis, left parenthesis, 5, plus, i, right parenthesis. Представи полученото число във вида a, plus, b, i.

Решение

В този пример някои намират за много полезно да разглеждат i като променлива.
Всъщност процесът на умножение на тези две комплексни числа е много подобен на умножението на два двучлена! Умножи всеки член на първото число по всеки член на второто число.
(1+4i)(5+i)=(1)(5)+(1)(i)+(4i)(5)+(4i)(i)=5+i+20i+4i2=5+21i+4i2\begin{aligned}(\tealD{1}+\maroonD{4i}) (5+i)&=(\tealD{1})(5)+(\tealD{1})(i)+(\maroonD{4i})(5)+(\maroonD{4i})(i)\\ \\ &=5+i+20i+4i^2\\ \\ &=5+21i+4i^2 \end{aligned}
Тъй като start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10, заместваме i, squared с minus, 1, за да получим желания вид a, plus, b, i.
(1−5i)(−6+i)=5+21i+4i2=5+21i+4(−1)=5+21i−4=1+21i\begin{aligned}\phantom{(\tealD{1}\maroonD{-5}i) (-6+i)} &=5+21i+4\goldD{i^2}\\ \\ &=5+21i+4(\goldD{-1})\\ \\ &=5+21i-4\\ \\ &=1+21i \end{aligned}

Провери знанията си

Задача 3

Извърши умножението: left parenthesis, 1, plus, 2, i, right parenthesis, left parenthesis, 3, plus, i, right parenthesis.
Представи отговора си във вида a, plus, b, i.

Задача 4

Умножи left parenthesis, 4, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 7, minus, 3, i, right parenthesis.
Напиши отговора си във вида a, plus, b, i.

Задача 5

Умножи left parenthesis, 2, minus, i, right parenthesis, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis.
Напиши отговора си във вида a, plus, b, i.

Задача 6

Умножи left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis.
Напиши отговори си във вида a, plus, b, i.

Задачи с повишена трудност

Задача 1

Нека a и b са реални числа. Колко е left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis?

Задача 2

Извърши посоченото действие и опрости. left parenthesis, 1, plus, 3, i, right parenthesis, squared, dot, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis
Напиши отговора си във вида a, plus, b, i.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.