Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 16

Урок 9: Тригонометричен вид на комплексните числа

Начини на представяне на комплексните числа: преговор

Преговори различните начини, по които може да се представят комплексни числа: алгебричен, тригонометричен и експоненциален вид.

Какви са различните начини за представяне на комплексните числа?


Алгебричен вид		$a + b i$ ‍
Тригонометричен вид		$r (\cos (θ) + i \sin (θ))$ ‍
Експоненциален вид		$r \cdot e^{i θ}$ ‍

Алгебричен вид на комплексните числа

a + b i

Алгебричният вид на едно комплексно число е сборът от две части:

реална

част и

имагинерна

част, умножена по имагинерната единица

i

Този начин на представяне на комплексните числа е особено удобен при тяхното събиране и изваждане.

Едно комплексно число в алгебричен вид може да се представи графично като точка или като вектор в комплексната равнина. Неговите реална и имагинерна части определят реалната и комплексната координата на числото.

Искаш ли да научиш повече за алгебричния вид на комплексните числа? Виж това видео за комплексната равнина и това видео за събиране и изваждане на комплексни числа.

Тригонометричен вид на комплексните числа

r (\cos (θ) + i \cdot \sin (θ))

Тригонометричният вид на комплексните числа подчертава графичните им свойства: техните

абсолютна стойност

(дължината на вектора, съответстващ на числото) и

ъгъл

(ориентираният ъгъл между вектора и положителната посока на реалната ос). Те се наричат също и с термините

модул

аргумент

Забележи, че ако разкрием скобите в тригонометричния вид, ще получим алгебричния вид на числото:

r (\cos (θ) + i \cdot \sin (θ)) = \overset{a}{\overset{⏞}{r \cos (θ)}} + \overset{b}{\overset{⏞}{r \sin (θ)}} \cdot i

Тази вид е особено полезен при умножение и деление на комплексни числа заради специфичното му свойство: произведението на две числа с абсолютни стойности

r_{1}

r_{2}

и ъгли

θ_{1}

θ_{2}

ще има абсолютна стойност

r_{1} r_{2}

и ъгъл

θ_{1} + θ_{2}

Искаш ли да научиш повече за тригонометричния вид на комплексните числа? Виж това видео.

Експоненциален вид на комплексните числа

r \cdot e^{i θ}

Експоненциалният вид използва същите елементи като тригонометричния вид:

абсолютната стойност

ъгъла

. Тук просто са показани по различен начин, който е по-кратък. Например умножението може да се представи така:

(r_{1} \cdot e^{i θ_{1}}) \cdot (r_{2} \cdot e^{i θ_{2}}) = r_{1} r_{2} \cdot e^{i (θ_{1} + θ_{2})}

Експоненциалният вид на комплексните числа произлиза от разлагането по Ойлер на експоненциалната функция

e^{z}

за всяко комплексно число

z

. Обяснението изисква знания за напреднали, но значението е просто: за всяко реално число

x

определяме

e^{i x}

като равно на

\cos (x) + i \sin (x)

Като използваме това уравнение получаваме зависимостта между експоненциален и тригонометричен вид на комплексните числа:

r \cdot e^{i θ} = r (\cos (θ) + i \sin (θ))

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.