Основно съдържание
Алгебра (цялото съдържание)
Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 16
Урок 9: Тригонометричен вид на комплексните числаНачини на представяне на комплексните числа: преговор
Преговори различните начини, по които може да се представят комплексни числа: алгебричен, тригонометричен и експоненциален вид.
Какви са различните начини за представяне на комплексните числа?
Алгебричен вид | a, plus, b, i | |
Тригонометричен вид | r, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis | |
Експоненциален вид | r, dot, e, start superscript, i, theta, end superscript |
Алгебричен вид на комплексните числа
Алгебричният вид на едно комплексно число е сборът от две части: start color #11accd, start text, р, е, а, л, н, а, end text, end color #11accd част и start color #1fab54, start text, и, м, а, г, и, н, е, р, н, а, end text, end color #1fab54 част, умножена по имагинерната единица i.
Този начин на представяне на комплексните числа е особено удобен при тяхното събиране и изваждане.
Едно комплексно число в алгебричен вид може да се представи графично като точка или като вектор в комплексната равнина. Неговите реална и имагинерна части определят реалната и комплексната координата на числото.
Искаш ли да научиш повече за алгебричния вид на комплексните числа? Виж това видео за комплексната равнина и това видео за събиране и изваждане на комплексни числа.
Тригонометричен вид на комплексните числа
Тригонометричният вид на комплексните числа подчертава графичните им свойства: техните start color #e07d10, start text, а, б, с, о, л, ю, т, н, а, space, с, т, о, й, н, о, с, т, end text, end color #e07d10 (дължината на вектора, съответстващ на числото) и start color #aa87ff, start text, ъ, г, ъ, л, end text, end color #aa87ff (ориентираният ъгъл между вектора и положителната посока на реалната ос). Те се наричат също и с термините start color #e07d10, start text, м, о, д, у, л, end text, end color #e07d10 и start color #aa87ff, start text, а, р, г, у, м, е, н, т, end text, end color #aa87ff.
Забележи, че ако разкрием скобите в тригонометричния вид, ще получим алгебричния вид на числото:
Тази вид е особено полезен при умножение и деление на комплексни числа заради специфичното му свойство: произведението на две числа с абсолютни стойности start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10 и start color #e07d10, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 и ъгли start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff и start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff ще има абсолютна стойност start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 и ъгъл start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, plus, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff.
Искаш ли да научиш повече за тригонометричния вид на комплексните числа? Виж това видео.
Експоненциален вид на комплексните числа
Експоненциалният вид използва същите елементи като тригонометричния вид: start color #e07d10, start text, а, б, с, о, л, ю, т, н, а, т, а, space, с, т, о, й, н, о, с, т, end text, end color #e07d10 и start color #aa87ff, start text, ъ, г, ъ, л, а, end text, end color #aa87ff. Тук просто са показани по различен начин, който е по-кратък. Например умножението може да се представи така:
Експоненциалният вид на комплексните числа произлиза от разлагането по Ойлер на експоненциалната функция e, start superscript, z, end superscript за всяко комплексно число z. Обяснението изисква знания за напреднали, но значението е просто: за всяко реално число x определяме e, start superscript, i, x, end superscript като равно на cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
Като използваме това уравнение получаваме зависимостта между експоненциален и тригонометричен вид на комплексните числа:
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.