If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Въведение към комплексните числа

Научи какво представляват комплексните числа и за техните реални и имагинерни части.
В множеството на реалните числа няма решение на уравнението x, squared, equals, minus, 1. В този урок ще се запознаем с ново числово множество, в което уравнението има решение.
Основният елемент в това ново множество от числа е числото i, наричано още имагинерна единица.
  • i, squared, equals, minus, 1
  • square root of, minus, 1, end square root, equals, i
Като използваме кратни на имагинерната единица, можем да създадем безкрайно много нови числа, например 3, i, i, square root of, 5, end square root и minus, 12, i. Това са примери за имагинерни числа.
Освен това можем да отидем още по-далеч и да събираме реални числа и имагинерни числа, например 2, plus, 7, i и 3, minus, square root of, 2, end square root, i. Тези комбинации се наричат комплексни числа.

Дефиниране на комплексни числа

Комплексно число е всяко число, което може да бъде написано като start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, където i е имагинерната единица, а start color #1fab54, a, end color #1fab54 и start color #11accd, b, end color #11accd са реални числа.
a+biiРеалнаИмагинерначастчаст\begin{array}{ccc} \Large\greenD a&\Large+&\Large \blueD bi \\ \uparrow&&\uparrow\phantom{i} \\ \text{Реална}&&\text{Имагинерна} \\ \text{част}&&\text{част} \end{array}
start color #1fab54, a, end color #1fab54 се нарича start color #1fab54, start text, р, е, а, л, н, а, end text, end color #1fab54 част на комплексното число, а start color #11accd, b, end color #11accd се нарича start color #11accd, start text, и, м, а, г, и, н, е, р, н, а, end text, end color #11accd част на комплексното число.
Таблицата по-долу показва примери за комплексни числа с идентифицирани реални и имагинерни части. На някои хора им е по-лесно да идентифицират реалните и имагинерните части, ако числото е записано в стандартен вид.
Комплексно числоСтандартен вид start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, iОписание на частите
7, i, minus, 2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, iРеалната част е start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, а имагинерната част е start color #11accd, 7, end color #11accd.
4, minus, 3, istart color #1fab54, 4, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, right parenthesis, iРеалната част е start color #1fab54, 4, end color #1fab54, а имагинерната част е start color #11accd, minus, 3, end color #11accd
9, istart color #1fab54, 0, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 9, end color #11accd, iРеалната част е start color #1fab54, 0, end color #1fab54, а имагинерната част е start color #11accd, 9, end color #11accd
minus, 2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 0, end color #11accd, iРеалната част е start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, а имагинерната част е start color #11accd, 0, end color #11accd

Провери знанията си

Задача 1
Каква е реалната част на 13, comma, 2, i, plus, 1?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача 2
Каква е имагинерната част на 21, minus, 14, i?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача 3
Каква е реалната част на 17, i?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Класифициране на комплексните числа

Знаем какво представлява реално число, а сега дефинирахме какво е комплексно число. Сега да се върнем и да дадем подходящо определение за имагинерно число.
Имагинерно число е комплексно число start text, a, plus, b, i, end text, за което start text, a, =, 0, end text.
По същата логика можем да кажем, че реално число е комплексно число start text, a, plus, b, i, end text, за което start text, b, =, 0, end text.
От първото определение можем да заключим, че всяко имагинерно число е също така и комплексно число. От второто определение можем да заключим, че всяко реално число е също така и комплексно число.
В допълнение, съществуват комплексни числа, които не са нито реални, нито имагинерни, например 4, plus, 2, i.
Комплексни числа4+2i35iРеални числа512,23Имагинерни числа5i12,2i3i\purpleD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{Комплексни числа} \\\\ \begin{array}{lcr} 4+2i&&-3-\sqrt 5 i \end{array} \\\\ \goldD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{Реални числа} \\\\ \begin{array}{lcr} \sqrt 5&-12{,}2&3 \end{array} \end{array}}} \\\\ \maroonD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{Имагинерни числа} \\\\ \begin{array}{lcr} \sqrt 5 i&-12{,}2i&3i \end{array} \end{array}}} \end{array}}}

Въпрос за размисъл

Вярно или грешно е следното твърдение?
Всяко комплексно число е или реално, или имагинерно.
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Примери

В таблицата по-долу класифицирахме няколко числа като реални, имагинерни и/или комплексни.
Реални(b=0)\begin{aligned}&\text{Реални}\\&(b=0)\end{aligned}Имагинерни(a=0)\begin{aligned}&\text{Имагинерни}\\&(a=0)\end{aligned}Комплексни(a+bi)\begin{aligned}&\text{Комплексни}\\&(a+bi)\end{aligned}
7+8i(7+8i)\begin{aligned}&7+8i\\&(\greenD{7}+\blueD{8}i)\end{aligned}X
3(3+0i)\begin{aligned}&\sqrt{3}\\&(\greenD{\sqrt{3}}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
1(1+0i)\begin{aligned}&1\\&(\greenD{1}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
1,3i(0+(1,3)i)\begin{aligned}&-1{,}3i\\&(\greenD{0}+(\blueD{-1{,}3})i)\end{aligned}XX
100i(0+100i)\begin{aligned}&100i\\&(\greenD{0}+\blueD{100}i)\end{aligned}XX
Забележи, че в таблицата всички изброени числа са комплексни числа! Това е вярно по принцип!

Сега опитай ти!

Задача 4
Какъв вид число е minus, 2, plus, 3, i?
Избери всички правилни отговори:
Избери всички правилни отговори:

Задача 5
Какъв вид число е 10, comma, 2?
Избери всички правилни отговори:
Избери всички правилни отговори:

Задача 6
Какъв вид число е minus, 17, i?
Избери всички правилни отговори:
Избери всички правилни отговори:

Защо са важни тези числа?

Защо изучаваме комплексните числа? Вярваш или не, комплексните числа имат много приложения – например в електротехниката и квантовата механика!
От чисто математическа гледна точка, едно готино нещо, което комплексните неща ни позволяват да правим, е да решим всяко полиномно уравнение.
Например полиномното уравнение x, squared, minus, 2, x, plus, 5, equals, 0 няма нито реални решения, нито имагинерни решения. Но то има две решения с комплексни числа. Това са 1, plus, 2, i и 1, minus, 2, i.
Като продължим да изучаваме математика ще научим повече за тези числа и къде биват използвани.