Въведение към комплексните числа

В множеството на реалните числа няма решение на уравнението $x^2=-1$x, squared, equals, minus, 1. В този урок ще се запознаем с ново числово множество, в което уравнението има решение.

Основният елемент в това ново множество от числа е числото $i$i, наричано още имагинерна единица.

Като използваме кратни на имагинерната единица, можем да създадем безкрайно много нови числа, например $3i$3, i, $i\sqrt{5}$i, square root of, 5, end square root и $-12i$minus, 12, i. Това са примери за имагинерни числа.

Освен това можем да отидем още по-далеч и да събираме реални числа и имагинерни числа, например $2+7i$2, plus, 7, i и $3-\sqrt{2}i$3, minus, square root of, 2, end square root, i. Тези комбинации се наричат комплексни числа.

Комплексно число е всяко число, което може да бъде написано като $\greenD{a}+\blueD{b}i$start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, където $i$i е имагинерната единица, а $\greenD{a}$start color #1fab54, a, end color #1fab54 и $\blueD{b}$start color #11accd, b, end color #11accd са реални числа.

$\greenD a$start color #1fab54, a, end color #1fab54 се нарича $\greenD{\text{реална}}$start color #1fab54, start text, р, е, а, л, н, а, end text, end color #1fab54 част на комплексното число, а $\blueD b$start color #11accd, b, end color #11accd се нарича $\blueD{\text{имагинерна}}$start color #11accd, start text, и, м, а, г, и, н, е, р, н, а, end text, end color #11accd част на комплексното число.

Таблицата по-долу показва примери за комплексни числа с идентифицирани реални и имагинерни части. На някои хора им е по-лесно да идентифицират реалните и имагинерните части, ако числото е записано в стандартен вид.

Знаем какво представлява реално число, а сега дефинирахме какво е комплексно число. Сега да се върнем и да дадем подходящо определение за имагинерно число.

По същата логика можем да кажем, че реално число е комплексно число $\textit{a+bi}$start text, a, plus, b, i, end text, за което $\textit{b=0}$start text, b, =, 0, end text.

От първото определение можем да заключим, че всяко имагинерно число е също така и комплексно число. От второто определение можем да заключим, че всяко реално число е също така и комплексно число.

В допълнение, съществуват комплексни числа, които не са нито реални, нито имагинерни, например $4+2i$4, plus, 2, i.

В таблицата по-долу класифицирахме няколко числа като реални, имагинерни и/или комплексни.

Забележи, че в таблицата всички изброени числа са комплексни числа! Това е вярно по принцип!

Защо изучаваме комплексните числа? Вярваш или не, комплексните числа имат много приложения – например в електротехниката и квантовата механика!

От чисто математическа гледна точка, едно готино нещо, което комплексните неща ни позволяват да правим, е да решим всяко полиномно уравнение.

Например полиномното уравнение $x^2-2x+5=0$x, squared, minus, 2, x, plus, 5, equals, 0 няма нито реални решения, нито имагинерни решения. Но то има две решения с комплексни числа. Това са $1+2i$1, plus, 2, i и $1-2i$1, minus, 2, i.

Като продължим да изучаваме математика ще научим повече за тези числа и къде биват използвани.