Комплексната равнина

Имагинерната единица или $i$i е число със следните свойства:

Комплексно число е всяко число, което може да бъде написано като $\greenD{a}+\blueD{b}i$start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, където $i$i е имагинерната единица, а $\greenD{a}$start color #1fab54, a, end color #1fab54 и $\blueD{b}$start color #11accd, b, end color #11accd са реални числа.

$\greenD a$start color #1fab54, a, end color #1fab54 се нарича $\greenD{\text{реална}}$start color #1fab54, start text, р, е, а, л, н, а, end text, end color #1fab54 част на комплексното число, а $\blueD b$start color #11accd, b, end color #11accd се нарича $\blueD{\text{имагинерна}}$start color #11accd, start text, и, м, а, г, и, н, е, р, н, а, end text, end color #11accd част на комплексното число.

Точно както можем да използваме числовата ос, за да визуализираме множеството на реалните числа, можем да използваме комплексната равнина, за да визуализираме множеството на комплексните числа.

Комплексната равнина се състои от две числови оси, които се пресичат под прав ъгъл в точката $(0;0)$left parenthesis, 0, ;, 0, right parenthesis.

Хоризонталната числова ос (която ние познаваме като оста $x$x в декартовата равнина) е реалната ос.

Вертикалната числова ос (оста $y$y на декартовата равнина) е имагинерната ос.

Всяко комплексно число може да бъде представено като точка в комплексната равнина.

Като пример да разгледаме числото $3-5i$3, minus, 5, i. Това число, което може също така да се изрази като $\greenD{3}+(\blueD{-5})i$start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i, има реална част $\greenD{3}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54 и имагинерна част $\blueD{-5}$start color #11accd, minus, 5, end color #11accd.

Местоположението на това число в комплексната равнина е точката, която съответства на $\greenD{3}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54 на реалната ос и $\blueD{-5}$start color #11accd, minus, 5, end color #11accd на имагинерната ос.

Следователно числото $\greenD{3}+(\blueD{-5})i$start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i е свързано с точката $(\greenD{3}; \blueD{-5})$left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, ;, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis. Като цяло, комплексното число $\greenD a+\blueD bi$start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i съответства на точката $(\greenD a;\blueD b)$left parenthesis, start color #1fab54, a, end color #1fab54, ;, start color #11accd, b, end color #11accd, right parenthesis в комплексната равнина.

По времето на Питагор съществуването на ирационалните числа било изненадващо откритие! Те се чудели как нещо като $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root може да съществува без точно пълно десетично разлагане.

Числовата ос на реалните числа помогнала за разрешаването на тази дилема. Защо? Понеже $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root има точно местоположение на числовата ос, което показва, че това наистина е реално число. (Ако вземем диагонала на квадрат, чиито страни имат дължина единица, и поставим единия край на диагонала върху $0$0, другият край на диагонала съответства на числото $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root.)

По същия начин, всяко комплексно число наистина съществува, понеже съответства на точно местоположение в комплексната равнина! Вероятно, тъй като можем да изобразим тези числа, това ни подсказва, че назоваването на тези числа "имагинерни" е злощастно погрешно название.

Комплексните числа съществуват и са важен елемент на математиката. Числовата ос на реалните числа е просто реалната ос на комплексната равнина, но има и много повече от тази единична ос!