Основно съдържание
Алгебра (цялото съдържание)
Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 16
Урок 1: Какво са имагинерните числа?- Въведение към имагинерни числа
- Въведение към имагинерни числа
- Степенуване на имагинерни числа
- Степенуване на имагинерни числа
- Степенуване на имагинерни числа
- Опростяване на корените от отрицателни числа
- Опростяване корени на отрицателни числа
- i като положителния корен от -1
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Въведение към имагинерни числа
Научи какво представлява имагинерната единица i, какво са имагинерните числа и квадратните корени от отрицателни числа.
В обучението си по математика може би забеляза, че някои квадратни уравнения нямат никакви решения реални числа.
Например ако можеш опитай, но никога няма да успееш да намериш решение, което да е реално число на уравнението . Това е така, защото е невъзможно да повдигнеш на квадрат реално число и да получиш отрицателно число!
Обаче решение на уравнението не съществува в една нова числова система, наречена система от комплексни числа.
Имагинерната единица
Гръбнакът на тази нова система е имагинерната единица или числото .
Следното важи за числото :
Второто свойство ни показва, че числото е наистина решение на уравнението . Предното нерешено уравнение сега може да се реши с помощта на имагинерната единица!
Чисто имагинерни числа
Числото по никакъв начин не е само! Намирайки кратните на тази имагинерна единица, можем да създадем безкрайно много чисти имагинерни числа.
Например , и са всичките примери за чисти имагинерни числа или числа от вида , където е ненулево реално число.
Изчисляването на квадратите от тези числа хвърлят някаква светлина върху въпроса, как са свързани с реалните числа. Нека изследваме това с повдигането на квадрат на числото . Характеристиките на имагинерните степенни показатели остават еднакви, така че можем да повдигнем на квадрат точно както си го представяме.
Използвайки факта, че , можем да опростим това допълнително, както е показано.
Фактът, че означава, че е квадратен корен от .
Провери знанията си
По този начин виждаме, че чисто имагинерните числа са квадратни корени от отрицателни числа!
Опростяване на чисто имагинерни числа
Таблицата по-долу показва примери за чисто имагинерни числа в не опростен и в опростен вид.
Не опростен вид | Опростен вид |
---|---|
Но как опростяваме тези чисто имагинерни числа?
Нека разгледаме отблизо първия пример и видим дали можем да го разберем в процеса на опростяването.
Първоначална равностойност | Процес на разсъждения |
---|---|
Квадратният корен от |
Следното свойство обяснява по-горния "процес на разсъждения" в математически контекст.
За,
Ако свържем всичко с това, което вече знаем за опростяването на числа под корен, можем да опростим всички чисто имагинерни числа. Нека разгледаме един пример.
Пример
Опрости .
Решение
Нека първо обърнем внимание, че е имагинерно число, тъй като то е корен квадратен от отрицателно число. Следователно можем да започнем като напишем като .
След това нека опростим , като използваме това, което вече знаем за опростяването на числа под корен.
Решението е показано по-долу.
От тук следва, че .
Нека се упражним с няколко задачи
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Защо все пак има имагинерни числа?
Отговорът е прост. Имагинерната единица ни позволява да намерим решенията на много уравнения, коти нямат решения реални числа.
Това може да изглежда странно, но всъщност е много често използвано за уравнения, които са не решими в една числова система, но решими в друга, по-обща числова система.
Ето няколко примера с които може да си по-запознат.
- Само с броимите числа не можем да решим
; за това ни трябват целите числа! - Само с целите числа не можем да решим
; за това ни трябват рационални числа! - Само с рационални числа не можем да решим
. Въведи ирационалните числа и системата с реални числа!
Така че само с реалните числа не можем да решим . За това ни трябват имагинерни числа!
Като продължиш да учиш математика, ще започнеш да виждаш важността на тези числа.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.