Основно съдържание
Алгебра (цялото съдържание)
Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 16
Урок 1: Какво са имагинерните числа?- Въведение към имагинерни числа
- Въведение към имагинерни числа
- Степенуване на имагинерни числа
- Степенуване на имагинерни числа
- Степенуване на имагинерни числа
- Опростяване на корените от отрицателни числа
- Опростяване корени на отрицателни числа
- i като положителния корен от -1
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Въведение към имагинерни числа
Сал представя имагинерната единица i, която е определена от уравнението i^2=-1. След това той обяснява това специално число по-добре като разглежда неговите степени. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
В това видео искам
да те запозная с числото i, наричано още
имагинерна единица. Това, което ще видиш,
може да е трудно за разбиране, защото това число е
по-странно от останалите чудновати числа,
които изучихме досега: като числата π или е.
Странното му е, че то няма стойност, която да опише количество,
както сме свикнали да определяме числата. Числото i се определя
като число, чийто квадрат е -1. Това определение на i
има интересни следствия. Някъде можеш да срещнеш
и такова определение на i: i e равно на положителния корен квадратен от -1. Това не е грешно.
Има логика, когато квадратът на нещо е -1, може би то е положителният
корен от -1. Тези две твърдения
звучат почти еднакво, но искам да внимаваш,
когато използваш това. Според някои то дори е грешно. Излиза, че те грешат,
като казват, че е грешно. Но когато използваш това твърдение,
внимавай за значението му. То означава да вземеш
положителния корен на отрицателно число, за да го използваш за имагинерни числа
и за комплексни числа, които ще учим по-късно. За сегашното си разбиране
не е нужно да ги различаваш. Можеш да приемеш, че
и двете означават едно и също. С това определение нека намерим
различните степени на i. Ако нещо на квадрат е -1, то различните му степени
може би са всякакви странни неща. Но всъщност степените на i
са много лесни. Те са няколко стойности,
които се повтарят. Да започнем с i
на нулева степен. Ако кажеш, че тъй като
всяко число на степен 0 е 1, то i на степен 0 ще е 1,
това е вярно. Можеш да го изведеш
също и от определението, но това е доста очевидно:
всичко на степен 0 е 1. Следващата степен
е i на първа. Всяко число на първа
е самото число. Това е просто i. Следва от определението
на степените и дотук е очевидно. След това имаме i на втора. По определението за i това е равно на -1. Да пресметнем i на трета степен. Това е i на втора степен по i. Знаем, че i на втора е -1, значи имаме -1 по i. Подчертавам,
това е равно на това, i на втора е -1. Като ги умножим,
-1 по i е равно на -i. Сега да видим i на четвърта степен. Ще го напиша тук. Подобно на предишните, това е
i на трета степен по i. Вече знаем колко е i на трета степен. То е -i. Ако имаме i по i ще е -1, но тук имаме минус. Значи цялото става +1. Нека го разпиша. i по -i е равно на -1 по i по i, заради разместителното свойство
на умножението. По определение имаме i по i е равно на -1, става -1 по -1, което е 1. Значи i на четвърта степен
е същото като i на нулева. Сега да опитаме с i на пета степен. Това е равно на i на четвърта по i. Вече знаем, че i на четвърта е 1. Значи имаме 1 по i,
или само i. Отново това е същото като i на първа степен. Да видим как се повтаря
тази зависимост. Например при i на шеста степен. Това е i по (i на пета степен). Знаем, че i на пета е просто i. Значи имаме i по i,
по определение е -1. Да обобщим, можем да продължим така. Можем да продължим
за по-големи степени на i и стойностите им все
ще се повтарят. В следващото видео ще ти покажа
как да намираш произволна степен на i, как веднага да разбереш колко е. Но нека се убедим,
че този цикъл се повтаря. i на седма степен е равно
на i на шеста по i. i на шеста е -1,
и i по -1 е -i. За i на осма отново имаме 1. i на девета ще е i
и така нататък.