Определяне на фокус и директриса на парабола, зададена с уравнение

Това тук е уравнение на парабола и целта на това видео е да намерим или да проучим алтернативен метод за намиране на фокуса и директрисата на тази парабола от уравнението. Първото нещо, което предпочитам да правя, е да намеря у. Не знам, мозъкът ми просто обработва нещата по-добре по този начин. Нека преместим това 23/4 вдясно. Нека добавим 23/4 към двете страни и после ще получим у, равно на -1/3 по (х - 1) на квадрат плюс 23/4. Нека сега си припомним какво сме научили за фокусите и директрисите, мисля, че така трябва да го кажа. Фокусът. Ако фокусът на една парабола е в точката (а; b) и директрисата... директрисата е правата у, равно на k. Показахме в други видеа с малко по-сложна алгебра, че уравнението на параболата, във вид като този, ще е у, равно на 1 върху (2 по (b - k)). Това (b - k) е разликата между тази у координата и тази у стойност, предполагам, можеш да кажеш така. По (х - 1) на квадрат, плюс b плюс k. Извинявам се, не е (х - 1). Обърквам се с това. (х - а) на квадрат. (х - а) на квадрат плюс (b + k)/2 Фокусът е (а; b) и директрисата е у, равно на k, а това ще е уравнението на параболата. Вече сме виждали техниката, при която можем да видим различните части. Можем да видим, че това (х - 1) на квадрат... Всъщност нека направя това в различен цвят. Това (х - 1) на квадрат съответства на (х - а) на квадрат и така 1 съответства на а, така че ето така знаем, че 'а' ще е равно на 1 и нека запиша това. 'а' е равно на 1 в този пример тук. И после можеш да видиш, че -1/3 ето тук съответства на 1/2(b - k) и можеш да видиш, че 23/4 съответства на (b + k)/2. Първата техника, която проучихме, беше да си кажем: "Добре, нека съпоставим -1/3 на това нещо ето тук. Да намерим (b - k)." Не търсим b или k, търсим израза (b - k). Така че получаваш (b - k) равно на нещо. И после можеш да използваш 23/4 и това, за да намериш (b + k). Получаваш, че (b + k) е равно на нещо и после имаш 2 уравнения, 2 неизвестни, можеш да намериш b и k. В това видео искам да проуча различен метод, който наистина използва знанието ни за върха на една парабола, за да можем да открием къде ще са фокусът и директрисата. Нека помислим за върха на тази парабола ето тук. Помни, върхът, ако параболата е с отвор нагоре като тук, върхът е тази точка на минимум. Ако е с отвор надолу, той ще е тази точка на максимум. И когато погледнеш ето тук, виждаш, че имаш -1/3 пред (х - 1) на квадрат. Тоест тази стойност ето тук или ще е 0, или отрицателно. Няма да добави към 23/4, или няма да добави нищо, или ще извади от него. Това ще достигне максимална точка, когато това е 0, когато това нещо е 0, и това просто ще продължи надолу оттам а когато това е 0, у ще е равно на 23/4. Така че върхът ни ще е тази максимална точка. Кога това е равно на 0? Когато х е равно на 1. Когато х е равно на 1, получаваш (1 - 1) на квадрат. 0 на квадрат по -1/3 е 0. Така че когато х е равно на 1, тогава сме при максималната стойност за у, 23/4, което е 5 и 3/4. Всъщност нека запиша това като... Нека го оставя като върха. 23/4 и това е парабола с отвор надолу. Всъщност нека започна да чертая това. Нека начертая осите тук. Трябва да стигнем до 5 и 3/4. Така. Нека начертаем оста у. Това е оста х. Това е оста х. Ще имаме 1. Нека наречем това 1, нека наречем това 2. И искам да отидем до 5 и 3/4, нека отидем нагоре до, да видим, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Можем да ги надпишем. 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. И върхът ни е точно ето тук. (1; 23/4), това е 5 и 3/4. Това ще е някъде тук и, както казахме, след като имаме отрицателна стойност пред този член (х - 1) на квадрат, това ще е парабола с отвор надолу. Това ще е максималната точка. Нашата парабола ще изглежда ето така, ще изглежда подобно на тази. Ще изглежда ето така и, очевидно го чертая на ръка, няма да е напълно точно, но се надявам, че схващаш цялостната идея за това как ще изглежда параболата и нека просто направя част от нея, понеже нямам толкова много информация за параболата все още. Просто ще я начертая ето така. Все още не знаем къде са директрисата и фокусът, но знаем няколко неща. Фокусът ще стои на същата х стойност като върха. Ако начертаем, това е х, равно на 1, ако х е равно на 1, от опита си с фокусите знаем, че те ще стоят на същата ос като върха. Така че фокусът може да е ето тук и после директрисата ще е равноотстояща от другата страна. Директрисата може да е нещо подобно. Може да е ето тук. Отново, все още не съм я намерил, но знаем това, понеже тази точка, върхът, стои на параболата, по определение трябва да е равноотстояща от фокуса и директрисата. Така. Това разстояние трябва да е същото като това разстояние ето тук и по какъв друг начин да помислим за цялото това разстояние? Помни, тази координата ето тук е (а; b) и това е правата у, равно на k. Това е у, равно на k. Какво е това разстояние в жълто? Каква е тази разлика в у? Можеш да наречеш това, в този случай, директрисата е над фокуса, така че можеш да кажеш, че това ще е (k - b) или можеш да кажеш, че е абсолютната стойност на (b - k). Това всъщност винаги ще върши работа. Винаги ще ти даде положително разстояние. Ако знаем каква е абсолютната стойност на (b - k), ако знаем това разстояние, после просто го разделим наполовина, директрисата ще е това разстояние – половината разстояние отгоре и после фокусът ще е половината разстояние отдолу. Да видим дали мога да намеря това. И можем да намерим това, понеже виждаме в това уравнение, можеш да видиш къде е (b - k). 1/2(b - k) трябва да е равно на -1/3. Нека намерим (b - k). Получаваме 1/2(b - k) да е равно на -1/3. Отново, това съответства на това. Това е равно на -1/3. Можем да вземем реципрочното на двете страни и получаваме 2(b - k) е равно на 3. Сега можем да разделим двете страни на 2 и ще получим (b - k) е равно на – колко е това – 3/2. (b - k) е равно на – нека се уверя, че това е -3, тоест това трябва да е -3/2. И ако вземеш абсолютната стойност на (b - k), тогава ще получиш +3/2 или ако вземеш (k - b), тогава ще получиш +3/2. Ето така, използвайки тази част, просто със съпоставяне на -1/3 с тази част от уравнението, можем да намерим абсолютната стойност на (b - k), което ще е разстоянието по оста у в посока у, между фокуса и директрисата. Това разстояние ето тук е 3/2. Колко е половината от това разстояние? Причината да ме интересува половината от това разстояние е понеже после мога да пресметна къде е фокусът, понеже той ще е половината от това разстояние под върха и мога да кажа, каквото е това разстояние, то ще е също това разстояние над директрисата. Така че половината от това разстояние, тоест 1/2 по 3/2 е равно на 3/4. Ето така успяхме да открием, че директрисата ще е 3/4 над това. Мога да кажа, че директрисата, нека видя, свършва ми мястото, директрисата ще е у, равно на у координатата на фокуса. Извинявай, у координатата на върха. Трябва да внимавам с думите си. Това ще е равно на у координатата на върха плюс 3/4. И цялото е равно на 26/4, което е равно на... колко е това, това е равно на 6 и 1/2. Това ето тук, всъщност доста се доближих, когато го чертаех, това ще е директрисата. у е равно на 6 и 1/2 и фокусът – знаем х координатата на фокуса, 'а' ще е равно на 1 и b ще е равно на 3/4 по-малко от у координатата на директрисата. Тоест 23/4 минус 3/4. Това ще е 23/4 минус 3/4, което е 20 върху 4, което е равно просто на 5. И сме готови. Това е фокусът – (1; 5). Директрисата е у, равно на 6 и 1/2.