Определяне вида на конично сечение, зададено с разширено уравнение: хипербола

Да решим още една задача за разпознаване на конично сечение. Имаме 4у^2 – 50х = 25х^2 + 16у + 109. Първо ще групирам всички членове с х и с у от едната страна на уравнението и ще оставя константите от другата. Да го направим. Отляво имаме 4у^2 и направо ще групирам всички х и у членове в тази стъпка. Започнахме с у. Да преместим това 16у към лявата страна. Ако извадя 16у от двете страни на уравнението, получавам минус 16у отляво и, разбира се, ще изчезне отдясно. След това изваждам 25х^2 от двете страни на уравнението. Получавам –25х^2 – 50х. Отдясно остана 109. Отдясно остана 109. След като вече имаме всички х и у от едната страна на уравнението, разбираме типа на графиката и имаме посока на действие. Тъй като квадратите са от едната страна, сравняваме коефициентите пред тях. Различни са. Освен това, единият квадрат е положителен, а другият е отрицателен. Това ни показва, че уравнението е на хипербола. Нека да допълним квадратите, за да получим стандартния вид. Най-лесно се допълва квадрат, ако коефициентите пред х^2 и у^2 са 1. Затова нека тук да изнесем 4 пред скоби. Получаваме 4(у^2 – 4у... Оставям място за по-късно, когато ще допълня квадрата. Тук изнасяме минус 25 пред скоби и остава х^2 + 2х. Тук после ще добавя нещо. Равно на 109. Да видим какво ще добавим, за да допълним квадратите. Да допълним квадрата с у. Коефициентът пред у е –4. Ще взема половината. Приканвам те да гледаш видеото за допълване до квадрат, където обяснявам как става. Коефициентът пред у е –4. Взимам половината му, което е –2. Квадратът на –2 е плюс 4. Когато добавяме нещо от едната страна на уравнението, задължително го добавяме и от другата. Това, което току-що добавих към лявата страна, не е 4. Всъщост добавих 4 по 4, нали? Защото имаме тази четворка като множител отпред. Следователно отляво добавих 16. Трябва да добавя същото и отдясно. Това е еквивалентно на това да добавя 16 тук в горното уравнение. Така става малко по-ясно, нали? Като изнесем 4 пред скоби, се получава пак 4. И тук също ще добавим 16. По същия начин и за х, взимаме половината от това число. Половината на 2 е 1. 1 на квадрат е 1. Сега пак не добавихме просто 1, а 1 по –25. Затова и отдясно добавяме –25. Това би било същото като да сложим –25 горе. Също и от другата страна, –25. Какво се получава сега? Членовете с у се равняват на 4(у – 2)^2. Ако тази стъпка ти се стори сложна, може да прегледаш темата за разлагане на многочлени. –25(х + 1)^2. Това е равно на 109 + 16 – 25, равно на 100. Почти сме готови. Искаме отдясно да има единица, затова да разделим двете страни на уравнението на 100. Получаваме (у – 2)^2 върху... 4 делено на 100 е 1/25, затова върху 25. Минус, да видим, 25/100 е 1/4, затова (х + 1)^2 върху 4, равно на 1. Готови сме. Това е стандартният вид на уравнението и наистина имаме хипербола. Сега нека я начертаем. Първото, което виждаме, е центърът на хиперболата. Центърът е в точка с х = –1 и у = 2 точката с координати (–1; 2). Да намерим асимптотите на хиперболата. Аз винаги го правя по този начин, за да не помня формулата. Ако имаме 0, формулата ще изглежда като нещо такова: у^2/25 – х^2/4 = 1, тогава щях да търся асимптотите така. Защото е много по-лесно да работим с по-простите уравнения. За да го решим, умножаваме двете страни по 100. Един вид, връщаме назад това, което направихме преди малко. Всъщност, нека умножим първо по 25. Получаваме у^2 – (25/4)х^2 = 25. Премествам х отдясно, като добавя 25/4 по х^2 към двете страни у^2 е равно на 25/4 х^2 плюс 25. Получаваме у равно на +/- квадратния корен от 25/4 по х^2 плюс 25. Тъй като това е асимптота, то хиперболата никога няма да я пресече или да стане равна на нея. Това е правата, към която графиката се доближава, когато х се стреми към безкрайност в положителна и отрицателна посока. Ще научиш идеята за граница при х, стремящо се към +/– безкрайност по-късно. Но мисля, че ти е ясно и сега, защото това е самият смисъл на асимптотата. Когато х нараства много, т.е. доближава се до безкрайност, графиката се доближава до тази права, както правихме и в предишни видеа, това събираемо става все по-незначително. Защото другото събираемо става огромно. Тогава у е приблизително равно на +/– квадратния корен от това събираемо. Коренът от само това събираемо е 5/2 по х. Тогава асимпотите ни щяха да са тези прави, ако имахме център в нулата. Но центърът е в (–1; 2). Да начертаем графиката на това. И тогава ще разберем дали се отваря по вертикала или по хоризонтала. Центърът е в (– 1; 2). Това е оста Y, а това е оста X. Намираме центъра при –1 по х и 2 по у. Тук е центърът. И това щяха да са двете прави на асимптотите, ако имахме център в нулата. Но наклонът на асимптотите си остава този. Асимптотите ще се пресичат в центъра на хиперболата. Коефициентът в уравнението ни показва наклона им. Едната е с наклон 5/2. Това значи за всеки 2 единици по х, да се качим с 5 по у. Стигаме тук, това е точка от асимптотата. Мога да начертая правата, тъй като две точки от нея ми стигат. Така ще изглежда правата. Наклонът на другата асимптота е –5/2. Значи за всеки две единици надясно ще слизам с 5 надолу по у. Намирам точка от втората асимптота някъде тук. И нейната права ще изглежда така. Достатъчно близо. Това са двете асимптоти, и те продължават безкрайно в тези посоки. Има два начина на разсъждение. Ако гледаме по-простото уравнение, ако центърът беше в нулата, възможно ли е х да е равно на 0? Разира се, че може. Ако х е 0, тогава у^2/25 е равно на 1. у би бил +/– 5. В нашия случай не х, а целия този член може да е равен на 0. Това значи, че х може да е равно на –1. Ако х = –1, то ( у – 2 )^2/25 = 1. Да видим. Ако х = –1, то на какво става равен този израз? Не искам да загубя уравнението, затова ще пиша тук. Имаме ( у – 2 )^2 върху 25. Това става минус нула, и имаме равно на едно. ( у – 2 )^2/25 = 1. Просто умножих двете страни по 25. у – 2 е равно на +/–5. Просто коренувах двете страни. Значи у – 2 = 5 или у – 2 = –5. Добавям 2 към двете им страни и получавам у = 7 или у = –3. От това научаваме, че точките (–1; 7) и (–1; –3) са от графиката на хиперболата. Да ги намерим: абциса –1 е тук и точките с координати у = 7 и у = –3 са тези. Това ни показва, че имаме вертикални асимптоти. Друг начин да го познаем, е като видим члена с у^2. Той е положителен. Другият начин на разсъждение е като вземем положителния корен: той е у, и винаги сме малко над асимптотата. Това е друг начин на мислене. Положителният корен винаги е малко отгоре, този израз отгоре винаги е малко повече от асимптотата, изразена тук. Винаги нашият израз е малко повечко от нея. Очевидно, колкото повече расте числото х, толкова това 25 има по-малко тежест, и графиката ще изглежда като това тук. Ще намалява и след това расте, без да докосва асимптотата, но ще я доближава. Ще се доближи много близо до асимптотатата, и след това и до другата и в тази посока. Надявам се това да ти е било полезно. Тази задача имаше малко по-сложно решение, затова бях по-подробен.