Структура в експоненциалните изрази

Нека кажем, че позицията на някаква частица като функция на времето е дадена чрез този израз ето тук. Минус d на степен –t плюс с^4 / с^2 + 1, където с и d са константи, като и двете са по-големи от 1. В това видео ще видя какво можем да заключим от този израз, от това определение за функция, което имаме тук. Първо искам да помислим каква е първоначалната позиция? Нека изразим първоначалната позиция по отношение на с и d и опитаме да я опростим. Препоръчвам ти да спреш видеото на пауза и да опиташ да намериш израз за първоначалната позиция. Първоначалната позиция е тази, при която времето е равно на 0. Така че просто ще намерим p(0). p(0) ще бъде равно на – d на степен минус 0. Нека го запиша... минус 0 плюс с^4 / с^2 + 1. d на степен минус 0, това е същото като d на степен 0. Знаем, че d е не-нулево, знаем че това е определено. Всяко не-нулево число на нулева степен е 1. 0 е под въпрос, колко е 0 на степен 0. Но можем със сигурност да кажем, че това тук ще бъде равно на 1. Така че тук числителят се опростява до... Това е равно на... ще сменя реда. с^4 – 1 върху с^2 + 1. Сега можеш да се сетиш, че това е разлика на квадрати. Можем да го напишем като с^2, цялото на квадрат, минус 1 на квадрат върху с^2 + 1. А това е същото като с^2 + 1 по с^2 – 1. Цялото това върху с^2 + 1. Имаме с^2 + 1 в числителя и в знаменателя, така че можем да опростим. Първоначалната позиция ще бъде с^2 – 1. Това се опростява доста хубаво. Следващият въпрос, който ще те попитам е : знаем че при първоначалната позиция, при време равно на 0, частицата е при с^2 – 1. Но какво се случва след това? Дали позицията продължава да се увеличава? Дали позицията продължава да намалява? Или може би позицията се увеличава и след това намалява, или намалява и след това се увеличава, като продължава да се променя наоколо? Спри видеото на пауза и помисли какво се случва с позицията. Дали продължава да нараства? Дали продължава да намалява? Или прави нещо друго? Добре, нека отговорим на този въпрос, какво се случва с позицията след първоначалната. Трябва само да се фокусираме върху този член тук. Това d на степен минус t. Това е единствената част, която зависи от t. Всички тези неща остават еднакви с течение на времето. Какво се случва с d на степен минус t, с тази част от първия член, когато t се придвижва от 0 напред. И за да го разгледаме, нека го нанесем на графика как ще изглежда функцията d на степен минус t. d на степен минус t ще изглежда... като ние знаем, че d е по-голямо от 1. Когато t е равно на 0... това тук е t. А тук ще нанесем върху тази ос... Ще нанесем d на степен –t. Когато t = 0, това ще бъде равно на 1. Вече видяхме това. Какво се случва, когато t се увеличава? Да кажем, че t се увеличава с 1. Сега това ще бъде d на степен –1, което е същото като 1/d. Ние не знаем точната стойност на d, но знаем, че d е по-голямо от 1, следователно 1/d ще е по-малко от 1. Нека кажем, че това тук е 1/d. То ще бъде нещо такова. И след това, когато t е при 2, ще имаме 1/d^2, което ще бъде нещо като това там. Виждаш поне за този член, какво става когато t нараства. Когато t расте, d на степен минус t строго намалява. Да повторя, знаем това, защото d е по-голямо от 1. Така че този член тук стриктно намалява. Това намалява. Тази част от него. Но не я прибавяме. Изваждаме я. Изваждаме я от началото. Отначало това започва от 1. Изваждаме 1. И след това започваме да изваждаме все по-малки и по-малки неща от 1. Ако това намалява и го изваждаме, изваждаме все по-малки и по-малки неща, тогава цялото нещо, неговото отрицателно ще нараства. Друг начин да го разгледаме. Ако искаме да нанесем минус d на степен –t, то ще изглежда по този начин. То просто ще е отрицателното на това тук. Така че то би изглеждало по такъв начин. Ще използвам този жълт цвят. Ще изглежда така. И така, целият този член ето тук, –d на степен –t постоянно се увеличава. И ние знаем, че всички тези други неща просто ще бъдат фиксирани. Целият този израз е постоянно нарастващ, като започнем при t = 0. И след това t ще приема все по-големи и по-големи положителни стойности. Последното нещо, което искам да те попитам, е: каква е максималната стойност тук? Каква стойност това никога няма да може да достигне? Може да се доближава до нея, но никога няма да стигне чак до там. Вече знаем, че това нараства, но нека помислим какво се случва, когато t стане наистина, наистина, наистина голямо число. Можеш да го разглеждаш като t клонящо към безкрайност. Нека разгледаме члена d на степен –t. d на степен – t, когато t става по-голямо и по-голямо, става все по-малко и по-малко. Този член тук клони към 0, когато t клони към безкрайност. Ако това клони към 0, това означава, че изваждаме 0. Цялото това жълтото, минус d на степен – t, нараства, но нараства с все по-малка скорост. Това е – d на степен –t. Това е ето тук. То нараства, но никога не достига напълно до хоризонталната ос ето тук. И ако го разглеждаме като t клонящо към безкрайност, цялото това нещо става 0 и цялата позиция клони, но никога не достига напълно до с^4/(с^2 + 1). Един от начините да го разглеждаме, е че достига това, но никога напълно не стига до позицията с^4/(с^2 + 1).