Основно съдържание

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 11

Урок 25: Формулата за смяна на основата при логаритми (Алгебра 2 ниво)

Въведение към правилото за смяна на основата на логаритмите

Научи как може да се преобразува всеки логаритъм с използване на логаритми с различни основи. Това е много полезно при изчисляването на логаритми с калкулатор!

Да предположим, че искаме да намерим стойността на израза

\log_{2} (50)

. Тъй като

50

не е рационална степен на

2

, ще е трудно да го изчислим без помощта на калкулатор.

Обаче с повечето калкулатори могат да се изчислят само логаритми с основа

10

или основа

e

. Така че, за да намерим стойността на

\log_{2} (50)

, трябва първо да сменим основата на логаритъма.

Свойство за смяна на основата

Можем да сменим основата на всеки логаритъм, като използваме следното свойство на логаритмите:

Забележка:

Когато използваш това свойство, можеш да смениш основата на логаритъма с произволна друга основа $x$ ‍.
Както винаги, аргументите на логаритмите трябва да бъдат положителни, а основите на логаритмите трябва да са положителни и различни от $1$ ‍, за да важи това правило!

Пример: Изчисляване на $\log_{2} (50)$ ‍

Ако целта е да намерим стойността на даден логаритъм, го преобразуваме в логаритъм с основа

10

или

e

, тъй като тези логаритми могат да бъдат изчислени с повечето калкулатори.

Нека сменим основата на

\log_{2} (50)

10

За да го направим, прилагаме правилото за смяна на основата за

b = 2

a = 50

x = 10

\begin{aligned} \log_{2} (50) & = \frac{\log_{10} (50)}{\log_{10} (2)} & Правило за смяна на основата \\ = \frac{\log (50)}{\log (2)} & В САЩ \log_{10} (x) = \log (x), а у н а с н а l g (х) \end{aligned}

Сега можем да намерим стойността, като използваме калкулатора.

\frac{\log (50)}{\log (2)} \approx 5,644

Провери знанията си

Задача 1

Изчисли $\log_{3} (20)$ ‍.
Закръгли отговора до най-близката хилядна.

Задача 2

Изчисли $\log_{7} (400)$ ‍.
Закръгли отговора си до най-близката хилядна.

Задача 3

Изчисли $\log_{4} (0, 3)$ ‍.
Закръгли отговора си до най-близката хилядна.

Доказване на правилото за смяна на основата

На този етап може би си мислиш: "Чудесно, но защо това правило върши работа?"

\log_{b} (a) = \frac{\log_{x} (a)}{\log_{x} (b)}

Първо да разгледаме един конкретен пример. Като използваме горния пример, искаме да докажем, че

\log_{2} (50) = \frac{\log (50)}{\log (2)}

Да означим като

n

стойността на

\log_{2} (50)

. С други думи

\log_{2} (50) = n

. От определението за логаритъм следва, че

2^{n} = 50

. Сега можем да извършим поредица от действия от двете страни на равенството, така че то да се запази:

\begin{aligned} 2^{n} & = 50 \\ \log (2^{n}) & = \log (50) & Ако A = B, тогава \log (A) = \log (B) \\ n \log (2) & = \log (50) & Правило за логаритмуване на степени \\ n & = \frac{\log (50)}{\log (2)} & Разделяме двете страни на \log (2) \end{aligned}

Тъй като дефинирахме

n

да е равно на

\log_{2} (50)

, получаваме

\log_{2} (50) = \frac{\log_{x} (50)}{\log_{x} (2)}

, точно както искахме!

По същата логика можем да докажем правилото за смяна на основата. Просто заместваме

2

b

50

a

и избираме произволна основа

x

като новата ни основа, и получаваме доказателството!

Нека

\log_{b} (a) = n

. Ако го напишем в експоненциален вид, получаваме уравнението

b^{n} = a

Сега имаме:

\begin{aligned} b^{n} & = a \\ \log_{x} (b^{n}) & = \log_{x} (a) & Ако Y = Z, тогава \log_{x} (Y) = \log_{x} (Z) \\ n \log_{x} (b) & = \log_{x} (a) & Правило за логаритмуване на степени \\ n & = \frac{\log_{x} (a)}{\log_{x} (b)} & Делим двете страни на \log_{x} (b) \end{aligned}

Тъй като

n = \log_{b} (a)

, получаваме

\log_{b} (a) = \frac{\log_{x} (a)}{\log_{x} (b)}

Задачи с повишена трудност

Задача с повишена трудност 1

Изчисли $\frac{\log (81)}{\log (3)}$ ‍ без да използваш калкулатор. Забележка: В САЩ логаритъм от а с основа 10 се записва като "log a", а у нас - като "lg а".

Задача с повишена трудност 2

Кой израз е еквивалентен на $\log (6) \cdot \log_{6} (a)$ ‍?

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Алгебра (цялото съдържание)