Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Построяване на експоненциални модели (стар пример)

Сал построява функция, за да изобрази разпада на един радиоактивен елемент. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

"Цезий-137 е радиоактивен изотоп, използван за изучаване на възходящата ерозия на почвата и низходящата седиментация. Има полуживот от приблизително 30 дни." Тоест този полуживот от 30 дни, това означава, че ако започнеш с 2 килограма цезий-137, 30 дни по-късно ще имаш 1 килограм цезий-137. Другият килограм се е разложил в други неща. И ако изчакаш още 30 дни, тогава ще имаш половин килограм цезий-137. "Приеми, че количеството А, в бекерели, на цезий-137 в дадена проба от пръст е зададено от показателната функция А е равно на с по (r на степен t), където t е броят дни след освобождаването на цезий-137 в почвата, а с и r са неизвестни константи." Това изисква малко обяснение. Какво е това бекерел? Обикновено, ако говоря за количеството от някакъв елемент, вероятно ще си мисля във връзка с масата и може да говоря за килограми. Но някои хора може също да говорят за количеството от това радиоактивно вещество като количество радиоактивност, което то произвежда. И бекерел е международната мерна единица за радиоактивност – наречена на Хенри Бекерел, който заедно с Мария Кюри е открил радиоактивността. Така че можеш да приемеш това за количеството цезий-137, който създава А бекерела радиоактивност. Но и в двата случая можем да мислим за това като количество. Но всъщност е количеството, което води до А бекерела активност. Да поясним, количеството е "дадено от показателната функция А е равно на" – нека го препиша – "А е равно на с по (r на степен t), където t е броят дни след освобождаването на цезий-137 в почвата, а с и r са неизвестни константи." Добре. Нека поясним, това е дни след освобождаването. "В допълнение, приеми, че знаем, че първоначалното количество цезий-137, освободено в почвата, е 8 бекерела. Намери неизвестните константи с и r." Първоначалното количество в почвата. Това е, когато t е равно на 0. Когато не са изминали николко дни. Тоест можем да кажем, че количеството при време 0 – това ще е равно на с по (r на степен 0), което ще е равно на с по 1, което е равно на с. И ни казват колко е А(0). Казват, че А(0) е 8 бекерела. Това ще е равно на 8. Тоест нашата константа тук, с, просто ще е равно на 8. "Каква е стойността на константата?" Тук можем просто да запишем 8. Стойността на константата с е 8. "Каква е стойността на константата r? Закръгли до най-близката хилядна." Започваме с 8. Така, А(0) е 8. Колко ще имаме след 30 дни? И причината да избера 30 дни е, че това е полуживотът на цезий-137. А(30), помни, t е – нека просто да променя цветовете за по-интересно – t е в дни. А(30). След 30 дни, аз ще – ако искам да използвам тази формула тук, ако исках да използвам описанието на тази показателна функция, вече знаем, че с е 8. Това ще е 8 по (r на степен 30), което ще е равно на колко? Ако започнем с 8, 30 дни по-късно ще имаме половината от това. Ще имаме 4 бекерела. Сега можем да използваме това, за да намерим r. Имаш 8 по (r на степен 30) е равно на 4. Делим двете страни на 8. Получаваме, че r на степен 30 е равно на 4 върху 8 – което е същото нещо като 1/2. И после можем да повдигнем двете страни на степен 1/30-та. r на степен 30 – но после можеш да помислиш за корен 30-ти от това или повдигане на това на степен 1/30 – това просто ще ни даде r, равно на 1/2 на степен 1/30. И това е много трудно за изчисление наум. Така че предлагам за това да използваме калкулатор. И ни подсказват, понеже ще закръглим до най-близката хилядна. Нека извадим калкулатор. Говорим за 1/2 на степен 1/30. Получаваме 0,9771599 – и продължава. Но ни казват да закръглим до най-близката хилядна, тоест става 0,977, закръглено до най-близката хилядна. Накрая казват: "Колко бекерела цезий-137 остават в пробата ни 150 дни след като е освободен в почвата? Използвай закръглената стойност на r и закръгли това число до най-близката стотна." Да поясним, вече знаем с и r. Знаем, че количеството цезий-137 в бекерели – като функция на времето в дни – ще е равно на 8 по (0,977 на степен t), където t е броят изминали дни. Тоест ни питат колко ще имаме след 150 дни? Искат да изчислим колко е А(150). Това ще е 8 по (0,977 на степен 150). Очевидно ни трябва калкулатор. Нека пресметнем това. Това ще е 8 по – и ни казват да използваме закръглената стойност на r, а не точната стойност на r. Това ще е 8 по 0,977 на степен 150. И искат да закръглим до най-близката стотна. 0,24 0,24 бекерела е радиоактивното ниво на цезий-137, което ни е останало. Едно интересно нещо е, че искаха да използваме закръглената стойност на r. Така че използвахме закръглената стойност на r. Понеже това тук е кратно на 30, можеш – по не твърде труден начин – да намериш точната стойност, която е останала. И дори не ти трябва калкулатор. Окуражавам те да спреш видеото и да опиташ да помислиш за това. Намери точната стойност. Вместо да пишем 0,977, нека запишем А(t) е равно на 8 по нашето r... Това е приблизителна стойност за r. Ако искахме да сме малко по-точни, можем да кажем, че нашето r е 1/2 на степен 1/30. И ще повдигнем това на степен t. Или можем да кажем, че А(t) е равно на 8 по (1/2 на степен t/30). Ако повдигнем нещо на някаква степен, и после повдигнем цялото на друга степен, можем да вземем произведението на тези две степени. Това е 1/2 на степен t/30. Нека направя това в друг цвят. Нека направя това в жълто. Това е 8 по (1/2 на степен t/30). Всъщност тук дори не ми трябват тези скоби. Това е друг начин да опишем А(t). И колко е А(150)? А(150) ще е равно на 8 по 1/2 на степен 150/30. Това е просто 5. 1/2 на степен 5. Колко е 1/2 на степен 5? Това е 1 на пета върху 2 на пета или 1/32. Това тук е 1/32, което е равно на 8 върху 32, което е равно на 1/4, или 0,25. Използвайки приблизителната стойност за r, получихме 0,24, когато вдигнахме на степен 150. Това е доста използване на приблизителното изчисление. Взимаме 150 от тези и ги умножаваме, но това не е твърде далеч от реалната ни стойност. И искаха от нас да използваме закръглената стойност. Но ако използвахме прецизната стойност, точната стойност, щяхме да получим 0,25 бекерела.