Сравняване на растежа на експоненциални и квадратни модели

Компанията "Уютна кола" изпраща някои от новите си коли до Япония и Виетнам. Броят на колите, които ще бъдат доставени до Япония през следващите t месеца, е представен чрез функцията j(t), равна на 2 на степен t. Броят на колите, които ще бъдат доставени до Виетнам по време на следващите t месеца, е представен чрез функцията v(t), равна на 2 по t на квадрат. Коя страна е получила повече коли от компанията "Уютна кола" след 5 месеца или ще е получила след 5 месеца? Нека видим колко коли ще получи Япония след 5 месеца. t е измерено в месеци, така че j(5) ще бъде равно на 2 на степен 5, което е равно на 2 по 2 по 2 по 2 по 2 и нека видим, 2 по – имаме 4, 8, 16, 32. Япония ще получи 32 коли, а Виетнам – v(5) ще бъде 2 по 5 на квадрат, което ще бъде 2 по 25, което е равно на 50. Въз основа на тези два модела за това колко коли ще получат след t месеца, след 5 месеца Виетнам ще получи повече коли. Предполагам, че отговорът на този въпрос е Виетнам. Виетнам ще е получил повече коли след 5 месеца. Коя страна е получила или ще е получила повече коли от компания "Уютна кола" след 7 месеца? Още веднъж, нека го намерим. j(7) е равно на 2 на степен 7. Да видим. 2 на шеста ще бъде 32 по... можем да го разглеждаме като 2 на пета по 2 по 2, което ще бъде равно на, това ще бъде равно на 32 по 4, което е – 128 коли, които след 7 месеца ще са заминали за Япония. А за Виетнам, v(7) ще бъде равно на 2 по 7 на квадрат, така че това е равно на 2 по 49, което е равно на 98 коли. След 7 месеца Япония ще е получила повече коли, така че Япония. Япония ще е получила повече коли след 7 месеца. Това е интересно. Виждаме, че показателната функция – забележи, че където имаш t като степенен показател, въпреки че започва малко по-бавно от тази, която по същество е квадратна функция, при която имаш нещо повдигнато на квадрат, тя започва бавно. След 5 месеца ще имаш изпратени по-малко коли, в сравнение с модела на квадратна функция тук. Но след това не само, че го настига, но и започва да нараства с по-бързи и по-бързи темпове. И дори след 7 месеца е в състояние да задмине квадратната функция. Коя страна ще е получила повече коли от компанията "Уютна кола ... Ще продължи ли страната, която е получила повече коли от компания "Уютна кола" след 7 месеца, да получава повече коли от другата страна през следващите месеци? Да, абсолютно. Веднъж след като показателната функция задмине квадратната, тя просто става по-бърза. Тя продължава да нараства с все по-бързи и по-бързи темпове. Може да видиш, че ако искахме да сравним 8 месеца, при което j(8) – това е показателната функция, това ще бъде 2 на степен 8, което ще бъде това по 2, получили са 256 коли. А v(8) ще бъде 2 по 8 на квадрат, което е 2 по 64, което е 128. Обърни внимание, че сега са изпратени два пъти повече коли за Япония, отколкото за Виетнам, което не е случаят, който имаме тук. Изпратили сме повече за Япония, отколкото за Виетнам, но не два пъти повече. Можем да продължим. Ако искаш, можеш да изчислиш j(9). j(9) е 2 на степен 9, което ще бъде 256 по 2 или 512 коли, докато v(9) ще бъде 2 по 9 на квадрат, което е 2 по 81, което е 162. Така че сега имаме повече от двоен, всъщност повече от троен брой коли. Виждаш, че веднъж след като минат тези първоначални няколко месеца, показателната функция нараства с много, много, много по-бърз темп. Можем всъщност да го визуализираме. Нека всъщност извадим един графичен калкулатор, за да онагледим тези две неща и да видим как се случва това. Нека ги начертаем. Първата, нека начертая показателната. Имаме 2 на, ами ще кажа просто степен х. Ще кажем, че х е независимата променлива тук, така че имаме 2 на степен х. След това нека напишем квадратната. Имаме у(2), въпреки че това ще бъде v(2). Нека кажем 2 по х, 2 по х на квадрат. Сега нека определим областта. Нека кажем, че х започва от 0 и след това да кажем, че стига до 10. Нека кажем, че стига до 10. Скалата на х може да бъде 1. Скалата на х може да бъде 1. Сега минимумът на у, нека кажем, че ще започнем от 0 и след това максимумът на у, нека кажем, че стига до 1000. Нека стигнем до 1000 и нека направим скалата на у 100. 100. И сега мисля, че сме готови да ги начертаем. Нека го начертаем. Да видим какво се случва. Изчислява нещата. Това тук е показателната функция, а след това там, виждаш ето там, имаш квадратната. Всъщност нека приближа малко, за да можеш да видиш през къде минават ... или всъщност нека приближа малко това. Ще го направя с кутийка, така че да можеш наистина да видиш, да можем да видим къде те, или да се опитаме да видим къде се разминават. Ще започна от там. Ще направя кутийка, да видим, отиваме ... Упс. Странно е да използваш калкулатор на компютър като този. Но ти го виждаш, определено виждаш, дори на това, което току-що начертахме, че показателната функция наистина започва да се изстрелва нагоре, докато квадратната просто продължава... Тя също се увеличава с прилична скорост, но в никакъв случай толкова бързо. Като разликата става все повече и повече ясно изразена, когато времето се увеличава. Нека просто се уверим, че това е на нивото на това и нека чертаем в рамките на тази област ето тук. Да видим. Това там, това е показателната функция. Това е 2 на степен t. После това там е квадратната. Виждаш, определено виждаш... Всъщност нека... Определено виждаше това по-рано, квадратната функция има по-високи стойности, като ти виждаш това точно тук – след 5 месеца сме изпратили повече коли за Виетнам. Но след това показателната функция я изпреварва и започва да се изстрелва нагоре по-бързо с постоянно увеличаваща се скорост.