𝑒 като граница

В предишното видео, в което разгледахме много прост случай на сложна лихва, получихме израза (1, плюс 1 върху n) на степен n. Как го направихме? Видяхме пример, при който алчният кредитор ни таксува 100% лихва и оттам идва това 1. Ако лихвата се начислява само веднъж през годината, имаме 100% за годината, тогава n е 1. Така че получаваш (1, плюс 100% върху 1) на степен 1 и ще трябва да върнеш първоначалната сума в двоен размер. Ако n е 2, 1 плюс 1/2 е 1 цяло и 1/2, на степен 2, ще ти даде 2,25. Ако лихвата е наполовина на това, или 100%, делено на 2, но олихвяваш 2 пъти, тогава продължаваме нататък и нататък, и виждаме, че се случват интересни неща. Искам да прегледаме това тук, като използвам този калкулатор. Да видим какво се случва, ако получаваме все по-големи и по-големи n. В последното видео стигнахме до n равно на 365, като изглеждаше, че то клони към някакво вълшебно число, но сега нека стигнем дори още по-далеч. Ще измисля някакви наистина големи числа тук. 1 плюс 1 върху 1 000 000 – това е милион на степен милион. На степен 1 000 000. Написах ли точния брой нули? Да, изглежда вярно. Преди дори да натисна бутона за равно, което е вълнуващо, нека просто помислим какво се случва тук. Тази част тук, при която n става все по-голямо и по-голямо, се приближава все повече към 1, но никога не е точно 1. Това е 1 цяло и една милионна. То е много близо до 1, но не е точно 1. Ще го повдигнем на степен милион и обикновено, когато повдигаш нещо на степен милион, то ще бъде безкрайно, просто става огромно число, обаче ние знаем, че 1 на степен милион ще бъде просто 1. Ако се приближаваме наистина много близко до 1, може би това няма да бъде просто някакво число без граници. Когато го изчислим, виждаме, че това е така. Получаваме 2,71828 и така нататък. Сега да използваме още по-големи числа. Нека изчислим 1, плюс 1 върху – като всъщност сега мога да използвам стандартния запис на числата. Нека кажем 1 по 10 на седма степен, като това буквално е 10 милиона, на степен 10 милиона. Какво получаваме тук? Сега стигнахме до 2,718281692. Нека използваме още по-големи числа. Да въведем нещо за последно. Нека вместо 7-а степен използваме 8-а степен, сега имаме 1, плюс 1 върху 100 000 000, на степен 100 000 000. Дори не съм сигурен дали калкулаторът може да го изчисли – и получавам 2,71828181487, като виждаш, че бързо клоним – или може би не бързо, трябва да повдигнем това на много голяма степен – клоним към числото 'е'. Числото 'е' от калкулатора. Виждаш, че вече получихме 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 цифри надясно от десетичната запетая, като повдигнахме това на степен 100 милиона. Така че клоним към това число. Единият начин да го кажем е, че границата, когато n клони към безкрайност, когато n става все по-голямо и по-голямо, като то не става неограничено – няма да стига до безкрайност. Изглежда, че клони към това число, като ще наречем това число, ще наречем това вълшебно и мистично число 'е'. Ще го наречем 'е', като виждаме от калкулатора си, че това число и тези цифри са почти толкова известни като цифрите на числото π, получаваме 2,7182818 и просто продължаваме и продължаваме нататък. Цифрите никога, никога не се повтарят, така че имаме безкраен низ от числа, които никога не се повтарят. Точно както π – спомни си, че π е отношението между дължината на обиколката и диаметъра на окръжност. 'е' е друго такова необикновено число, което се появява във вселената. В други клипове от Кан Академия разглеждаме много по-подробно защо то е толкова вълшебно и мистично. Във всеки случай е доста интересно. Това, че мога да получа безкрайност... Ако просто прибавя 1 върху някакво число, към 1, и ако повдигна на степен това число, което прави това число все по-голямо и по-голямо, то ще клони към това число. Но това, което е наистина необикновеното за него, е, че виждаме, че това число, което можеш да разглеждаш като произлизащо от тази сложна лихва – това число 'e', имагинерната единица, която е определена чрез квадрата си, който е равен на -1. Всички те се свързват по този вълшебен и мистичен начин, като ще видим това отново в следващите клипове. Но просто заради 'е', какво си представяш, че ще се случи тук, ако се върнем към предишния пример, когато ти заемаш 1 долар, а аз ти начислявам лихва 100% за година, когато n беше 1, това означава, че просто съм те таксувал за 1 период от време. Когато n е 2, съм те таксувал за 2 периода, и тогава начислявам лихвата за 2 периода. Когато n е 3, начислявам лихвата за 3 периода. Когато n клони към безкрайност, можеш да го разглеждаш като постоянно олихвяване за всяка милиардна от секундата. Всеки момент начисляваш изключително малка лихва, но го правиш – по същество клониш към безкраен брой пъти и стигаш до това число.