𝑒 и сложна лихва

Нека кажем, че отчаяно се нуждаеш от един долар. Така че идваш при мен, аз съм хищният местен кредитор, и ми казваш: "Хей, искам да взема назаем един долар за една година." Казвам ти, че съм в добро настроение и ще ти дам назаем за една година този долар, от който се нуждаеш. Ще ти го заема при ниска лихва от 100% на година. Колко трябва да ми платиш след година? Ще трябва да върнеш първоначалната главница, която съм ти заел, плюс 100% върху нея. Плюс още 1 долар. Което е ясно, че ще бъде равно на 2 долара. Ти казваш: "О, много е да трябва да връщам обратно два пъти заетата сума. Има ли възможност да получа тези пари за 6 месеца? Каква оферта можеш да ми дадеш за това, г-н Алчен кредитор?" Аз казвам: "О, ако искаш да върнеш заема след 6 месеца, тогава ще те таксувам с половината лихва за половината време. Взимаш назаем 1 долар, така че след 6 месеца ще те таксувам с 50% лихва. 50% лихва в рамките на 6 месеца." Тук, разбира се, беше за 1 година. Колко ще трябва да платиш? Трябва да платиш първоначалната главница, която си взел назаем – единия долар плюс 50% от този 1 долар. Плюс 0,5, като това разбира се е равно на 1,5. Това е равно на 1,5 долара, т.е. 1,50 долара. 1,50 долара. Като сега казваш, че това може би е по-добре. "Но какво ще се случи, ако тогава нямам парите? Ако все пак ми трябват за 1 година?" Аз ти казвам, че ние имаме система за тази цел. Ще ти кажа: "Добре, все още нямаш парите, които трябва да ми върнеш. Можем да измислим нещо. Просто ще ти заема тази сума, от която се нуждаеш, за още 6 месеца." Ще ти я заема за още 6 месеца при същия лихвен процент от 50% за следващите 6 месеца. Тогава ще ми дължиш главницата от 1,50 долара плюс 50% от главницата – плюс 75 цента. Това ни дава 2,25 долара. Друг начин да го разглеждаме е да тръгнем от 1 долар за първия период, като просто го умножаваме по 1,5. Ако имаме нарастване на нещо с 50%, просто го умножаваме по 1,5. Ако го увеличим с още 50%, можеш да го умножиш отново по 1,5. Единият начин да го разглеждаме е, че 50% лихва е същото като умножение по 1,5. Умножение по 1,5. Ако започнеш с 1 и го умножиш по 1,5 два пъти, това ще бъде същото като... Ще бъде равно на 1, умножено по 1,5 два пъти подред. 1,5 умножено по 1,5 е същото като 1,5 на квадрат. Можеш да видиш същото нещо и тук. Това е същото нещо. 100% е същото като умножението по 2, умножаваме по (1 плюс 1). Това е умножение по 2, можеш да го видиш тук. Можеш да го разглеждаш като 1 по 1. 1 по 1 на първа... Извинявам се, 1 по 2 на първа степен, защото ще го правиш само в рамките на един период през годината. Още веднъж, откъде идва това 2? Ако някой ти иска 100%, това означава, че в рамките на периода ще трябва да платиш два пъти колкото главницата – Ще платиш главницата плюс още 100%. Ще трябва да платиш 2 пъти сумата, която първоначално си взел назаем. Ако някой те таксува 50% в рамките на всеки период, ще трябва да платиш това, което си взел назаем.... Тоест това е един вид едната част плюс 50% от нея. Така че имаме 1,5 по заетата сума. Умножаваш по 1,5 всеки път. Ако искаш да видиш как това всъщност е свързано с лихвата, можеш да го разглеждаш като... това тук е равно на 1 по, частта на лихвата е 1 плюс 100%, делено на 1 период, на първа степен. Знам, че това изглежда като малко странен начин да напишем това, което преди малко написахме тук. Писането на 1 плюс 1, но ще видиш, че можем да продължим да пишем това като сложна лихва за различни периоди. Това тук можем да напишем като 1 по (1 плюс 100%). Тук имаме 100% за годината и го разделихме на 2 периода, два 6-месечни периода. За всеки от тях лихвата е 50%. 1 плюс (100% върху 2) е същото като 1,5, като имаме натрупване за 2 периода. Нека напиша тези 2 периода с различен цвят. Ще напиша този период с оранжево ето тук. Може бе вече забелязваш някаква закономерност. Казваш: "Може би ще мога да върна парите след..." Всъщност това не ти харесва. Това е 2,25 долара. То е повече от първоначалните 2 долара. Питаш: "А ако използваме първия начин с олихвяване на всеки 12 месеца?" Ще кажа: "Разбира се. Имаме програма за това." След всеки 12 месеца... или след всеки месец всъщност ще те таксувам с лихва от 100%, делено на 12. Това е равно на 8 цяло и 1/3 процента. Ще трябва да платиш главницата плюс 8 цяло и 1/3 процента, като това е същото като да умножиш по 1,083 в период. След 1 месец ще трябва да платиш 1,083 в период. След два месеца... като не го начертах със съответния размер. Това всъщност изглежда повече от 2 месеца, но не е напълно в съответния мащаб. След 2 месеца ще трябва да умножиш отново по това. По 1,083 в период и това ще ти даде 1,083 в период на квадрат. Като изминат 12 месеца – нека си оставя малко място тук. Когато изминат всичките 12 месеца... Трябва ми разстояние от началото на 12-те месеца, тоест още 10 месеца. Каква е общата лихва, която ще трябва да платиш след една година, ако е нямало как да върнеш парите? Ако продължиш да ги заемаш. Ще продължа да натрупвам тази лихва. Ще трябва да платиш 1,083 на степен... Това тук е за 1 месец. Можеш да разглеждаш това като на първа степен. Това е за 2 месеца, така че ще трябва да платиш това на 12-а степен. Натрупали сме лихвата за 12 периода – 8 цяло и 1/3 процента за 12 месеца. Ако искахме да го напишем в този вид тук, това щеше да бъде равно на първоначалната главница... Първоначалната главница по (1 плюс 100% върху 12). Сега разделихме нашите 100% на 12 периода, като ще натрупаме това 12 пъти. Ще повдигнем това на 12-а степен. На колко ще бъде равно това? Това нещо тук. Можем да извадим калкулатор за това. Ще извадя моя TI-85. На колко ще бъде равно това? Можем да го изчислим по няколко начина. Това е 1, 083 в период. Ще извадя калкулатора си. Можем да го направим по няколко начина. Ще го напиша по този начин. Ще получиш една и съща стойност. Няма нужда да пиша тази единица тук. Направих това там, за да може в известен смисъл да видиш структурата на този израз. 1 плюс – 100% е същото като 1 – 1 делено на 12, на степен 12. 2,613 – просто ще го закръгля. Получаваме приблизително 2,613. Ще кажеш, че това е интересна игра и почти забравихме за финансовите ти проблеми, а просто сме любопитни какво се случва, ако продължим да правим това. Тук натрупвахме само... имаме 100% за година. Тук начисляваме лихва 50% на всеки 6 месеца. Тук имаме 1/12-та от 100%, тоест 8 цяло и 1/3 процента за всеки 12 месеца, докато не получим това число. Какво ще се случи, ако олихвяваме всеки ден? Всеки ден. Ако заемем 1 долар и ти кажа, че всеки ден ще те таксувам една 365-а част от 100%. 100%, делено на 365, като ще олихвяваме 365 пъти. Искаш да разбереш какво се случва. Ще кажеш, какво получаваме тогава? Какво ще получим след година? Имаш първоначалната главница. Нека превъртя малко повече надясно, така че да имаме повече място. Ще имаш първоначалната главница по 1 плюс 100%, делено не на 12 – сега разделяме 100% на 365 периода. 365 периода. Ще натрупаме сложната лихва. Всеки път трябва да умножаваме по 1 плюс 100% върху 365 за всеки ден, в който заемът не е платен. Тоест имаме 365-а степен. Сигурно си мислиш, че повдигането на нещо на 365-а степен ще даде някакво огромно число. Тогава ще кажеш, че може би това не е чак толкова лошо, защото 100%, делено на 365, ще бъде някакво малко число. Това нещо ще бъде доста близко до 1. Очевидно, можем да повдигнем 1 на произволна степен и няма да получим нищо прекалено голямо. Нека видим накъде отива това. Да видим накъде отива това. Това е същото като 1 плюс – 100% е същото като 1 – делено на 365, на степен 365. Получаваме 2,71456. Нека го сложа ето тук. Тогава получаваме... Това е приблизително равно на... Като това приблизително е доста точно приближение, но точността на калкулатора ми е само толкова. 2,7145675 и продължава още и още нататък. Това е наистина, наистина интересно. Изглежда, че когато имаме по-големи и по-големи числа тук, това не ни дава някакво безумно гигантско число. Изглежда, че клони към някакво вълшебно и мистично число. Всъщност това е така. Ако просто имаш по-големи и по-големи числа – ако трябваше да вземеш 100% и да ги разделиш на все по-големи и по-големи числа, и след това повдигаш на тази степен, тогава резултатът клони към може би най-вълшебното и мистичното число от всички. Числото 'е'. Можеш да го видиш ето тук в калкулатора си. Тук има това число 'е' на степен х. Мога да го направя, 'е' на... Ще го повдигна на първа степен, така че да можеш да разгледаш общото му представяне от калкулаторите. Виждаш, че вече повдигаме нещо... изчисляваме 1 плюс 1 върху 365 на степен 365. Започваме да се приближаваме наистина все по-близо до 'е'. Препоръчвам ти да опиташ това с по-големи и по-големи числа и ще се приближиш все повече и повече до тази вълшебна мистерия. Може би дори няма да имаш нищо против да платиш на хищния кредитор 'е' долара, защото това е едно много красиво число.