Еквивалентни изрази, съдържащи степени

В това видео се надявам да започна с един степенуван израз, който е в доста прост вид и после да го преобразувам в по-сложен вид. Нека направим това. Ще покажа първоначалния израз и после видa, в който искаме да го направим. После можем да поговорим малко за това защо искаме това. Да кажем, че изразът ми е 1/32 по 2 на степен t. Това е доста елементарен израз с неизвестно в степента. Но да кажем, че искаме да е във вида А по В и сега ще стане по-сложно – А по В на степен (t/10 - 1). Вероятно веднага ще си кажеш: "Защо ще искам да взема нещо лесно и просто като това и да го преобразувам в това сложно нещо тук?" Отговорът е, че когато стигнеш до по-висшата математика и започнеш с физика и химия, тогава ще видиш, може би, ще имаш резултат като този, но после ще погледнеш учебника си и там резултатът ще е като това. Просто ще искаш да знаеш как да преобразуваш това в това. Или понякога, когато преобразуваш във вид като този... Очевидно произволно записах този вид тук. Но понякога, когато го запишеш в друг вид, който може да е дори по-сложен, това може да ти даде логическата връзка със скритите процеси, които този израз опитва да опише. Ако искаш да повярваш на това, нека опитаме да го направим. Това ще подобри уменията ти за свойствата на степените. Виж дали можеш да го преобразуваш в този вид. Приемам, че се опита да го направиш. Нека опитаме да го направим заедно. Първото нещо, което може да направя, да видим дали можем... Да видим какво ще искам да направя. Първото нещо, което искам да направя, искам да взема това t и да го преобразувам в t... да го получим като t/10. За да направим това, трябва да умножим по 10 и да разделим на 10. Нека умножим по 10, а после да разделим на 10. Тогава не сме променили стойността тук горе. Можем да преобразуваме това... можем да преобразуваме това като 1/32 по 2 на степен... Нека оградя t... Ще направя това в различен цвят. t/10, по 10. Добре. Получихме t/10 ето тук. Но после имам по 10. Как да се справя с това? Едно нещо, което мога да направя... Нека запиша това по друг начин. Нека го запиша като 10 по t/10. 10 по t/10. Надявам се, че това, което направих тук, не е голямо разтягане. Буквално умножих и разделих на 10, така че да имам това t върху 10. Но когато го запиша така, едно свойство на степените може веднага да ти се набие на очи. Ако имам а на степен b и после повдигна това на степен с, това ще е а на степен bc. Обратното ще е а на степен bc ще е а на степен b на степен с. Тази част ето тук мога да преобразувам като 2 на степен 10 и после да повдигна това на степен t/10. На степен t/10. Още веднъж, 2 на степен 10 и после повдигам това на степен t/10. Това ще е същото като 2 на степен (10 по t/10). Разбира се, все още имаме това 1/32 тук. 1 върху... 1 върху 32. Иска ми се да запиша това като 2 на степен -5, но няма да направя това все още. Да видим. Колко е 2 на степен 10? Нека просто го задържим така, нека го задържим като 2 на степен 10, просто за да е по-лесно. По-късно можем, може би знаеш, че това ще е 1024. Но да видим какво друго можем да направим. Знаем, че това ще е някакво... Нека го запиша като 1024. Имаме 1/32 по 1024 на степен t/10, Изглежда се доближаваме до края. Ако тук нямаше -1, щяхме да сме готови. Но сега има -1. Как да се справим с това? Можем да приложим подобна стратегия. Можем да извадим 1 и после можем да добавим 1. Така няма да променим стойността. Точно както умножихме по 10 и разделихме на 10, тук не променяме стойността. Ако извадиш 1 и добавиш 1 към степента, тогава не променяш стойността ѝ. Колко ще е това? Искаме да оставим това -1 тук. Но искаме да се отървем от това +1 по някакъв начин. Тук просто трябва да си припомним, че ако имаме а на степен b по а на степен с, това ще е равно на а на степен (b + с). Ако имаш една и съща основа, повдигната на различни степени и умножиш двете основи, можеш просто да събереш степенните показатели. Можеш също да го направиш и по обратния начин. Ако имаш а на степен (b + с), можеш да го разделиш на а на степен b по а на степен с. Това нещо ето тук, това е 1024 на степен ((t/10 - 1) +1) Можем да преобрвазуваме това като 1024 на степен (t/10 - 1) – това е тази част тук, и после по 1024 на степен 1. По... Нека направя това в различен цвят. Да видим, зелено. Това тук – по 1024 на степен 1. Това е тази степен (+1) тук. Разбира се, все още имаме това 1/32. Сега вече сме доста близо до края. Имаме 1024 на степен (t/10 - 1), и тук е (t/10 - 1). Сега просто трябва да опростим. Можем да преобразуваме това. Това ще е равно на, можем просто да вземем 1024 на първа степен, това е просто 1024. Това ще е 1024 върху... 1024 върху това 32. Нека направя това в пурпурен цвят. Върху това 32 по... почти приключихме. По 1024 на степен (t/10 - 1) Сега можем да опростим това. Може да осъзнаеш, че 1024 е същото като, вече видяхме това, като 2 на степен 10. 32 е същото нещо като 2 на степен 5. 2 на степен 10, делено на 2 на степен 5... Всъщност това тук е друго свойство на степените, въпреки че просто можеш да разделиш числата. Ако имаш а на степен b върху а на степен с, това ще е равно на а на степен (b - с). Тоест това ще е 2 на степен (10 - 5), върху цялото това нещо. Цялото това нещо тук. И това... Исках да го направя в различен цвят ... Това нещо е просто 2 на степен 5, или 32. Това ще е 32 по 1024. Вече сме близо. 1024 на степен (t/10 - 1). Още веднъж, обикновено предпочитаме да опростяваме нещата, като аз силно препоръчвам това. Добра житейска философия е. Но това е случай, при който наистина го усложнихме. Започнахме с 1/32 по 2 на степен t... Има и други начини, по които можехме да запишем това... И го преобърнахме в това нещо с тази донякъде по-сложна степен. Но е полезно да имаш това умение, понеже може да получиш резултат като този, с който започнахме първоначално, а после някой да ти даде подобен резултат, и е много важно да осъзнаеш, че всъщност това е същият резултат, а това просто са различни начини за изразяване на един и същ израз със степени.