Тълкуване на времето при експоненциални модели

"След като специално лекарство е сложено в петриева чиния, пълна с бактерии, броят останали в чинията бактерии бързо намалява. Отношението между изминалото време, t, в секунди и броя бактерии, N(t), в петриевата чиния е представено от следната функция." "Довърши следното изречение за полуживота на бактериалната посявка. "Броят бактерии намалява наполовина на всеки – празно място – секунди." Така, t ни е дадено в секунди, така че нека помислим за това. Ще начертая малка таблица. И ако имаме... това е t и това е N(t), и ще започна с едно лесно t за времето, равно на 0, точно когато започваме. Цялото това, ако t е 0, тогава 1/2 на степен 0/5,5 това е 1/2 на степен 0, така че всичко това ще е 1, и просто ще ти останат 1000 бактерии в петриевата чиния. В кой момент ще умножаваме по 1/2? В кой момент ще кажем "1000 по 1/2"? За да кажем "1000 по 1/2", степенният показател трябва да е 1. Кога степенният показател тук ще е 1? Степенният показател ще е 1, целият този степенен показател ще е 1, когато t е равно на 5,5 секунди. Така, t е 5,5 секунди и, подобно, чакаме още 5,5 секунди, ако изминат 11 секунди, тогава това ще е 1000 по – 11, делено на 5,5, е 2, тоест – по 1/2 на втора степен, тоест по 1/2 по 1/2. На всеки 5,5 секунди ще имаме половината от бактериите, които сме имали преди 5,5 секунди. "Броят бактерии намалява наполовина на всеки 5,5 секунди." И виждаш това във формулата или в израза, задаващ функцията ето тук, но е добре да се види логиката зад това и наистина да разберем защо е логично. Нека направим още няколко такива. "Химичният елемент айнщайний-253 естествено губи теглото си с времето. Една проба айнщайний-253 има първоначално тегло 320 грама, когато сме я измерили. Отношението между изминалото време, t, в дни и теглото, М(t), в грамове, останало в пробата, е представено от следната функция. Довърши следното изречение за скоростта на промяна в теглото на пробата. Пробата губи 87,5% от теглото си на всеки – празно място – дни." Вместо да казваме колко е нараснало или се е смалило, казваме процентна промяна. Така че, ако губиш 87,5%, това означава, че ти остават 12,5%. Което е същото като да кажеш, че имаш 0,125% от теглото си. Друг начин да мислим за това е че пробата е 0,125 от първоначалното тегло. Или колко време отнема пробата да стане 0,125 от теглото си. И тук можем да приложим подобна идея, виждаш това 0,125 ето тук и мога да начертая таблица, въпреки че мисля, че предполагаш накъде отива това. Но нека начертая таблица. t и M(t). Когато t е 0, M(t) е 320. И в кой момент M(t) ще е 320 по 0,125? Понеже преминаването от това до това е загуба на 87,5% от теглото. Загуба на – нека опитам така: това е минус 87,5% от теглото, губиш 0,875, за да стигнеш до 0,125. Можеш просто да използваш 0,125 на първа степен. Така че какво t ти трябва, за да стане този степенен показател 1? t трябва да е 61,4. 61,4 и t е в дни, 61,4 дни. Може винаги да ти се иска да намираш това по този модел – че отговорът е толкова, колкото е знаменателят, но те съветвам да мислиш внимателно, понеже това е цялата идея на тези задачи. Ако просто го правиш по този модел, не знам колко полезно ще ти е това. Нека направим още един пример. "Хауърд е започнал за изучава как броят на клоните на дървото му нараства с времето. Отношението между изминалото време, t, в години, откакто Хауърд изучава дървото, и броя на клоните му, N(t), е представено от следната функция. Довърши следното изречение за скоростта на промяна в броя клони. Дървото на Хауърд нараства с 4/5 повече клони на всеки – празно място – години." Увеличаване с 4/5 е равносилно на умножаване с – сега, помни, нарастваш с 4/5 от броя, който вече имаш, не просто нарастваш с числото 4/5, получаваш 4/5 повече от това, което вече имаш. Това е равносилно на умножение по (1 + 4/5) или 9/5. Нарастване с 4/5 е същото като умножение по 9/5. Ако съм на 5 години и порасна с 4/5 от възрастта си, ще съм пораснал с 4 години и ще съм 9 годишен, което означава, че съм умножил възрастта си по 9/5. Дървото на Хауърд нараства с коефициент от 9/5 на всеки колко години? Можеш да видиш, че частното е 9/5, така че ще нарастваш с 9/5 всеки път, когато t е кратно на 7,3. Или предполагам можеш да кажеш, че всеки път, когато t се увеличи със 7,3 целият този степенен показател ще се увеличи с цяло число и можеш да разглеждаш това като умножение по 9/5 отново. Така че: "Дървото на Хауърд нараства с 4/5 повече клони на всеки 7,3 години."