Логаритмични уравнения: променлива в аргумента

В задачата се търси логаритъм от Х плюс логаритъм от 3, което е равно на 2 пъти логаритъм от 4 минус логаритъм от 2. Преписваме уравнението. Имаме логаритъм от Х плюс логаритъм от 3, което е равно на 2 по логаритъм 4 минус логаритъм 2. Да припомним: винаги когато видите логаритъм изписан без основа, приемаме че основата е 10. Затова можем да запишем 10 тук, тук и тук. По-нататък в този пример, няма да пиша 10 повече, за да спестим време. Но запомнете, че това означава само и единствено логаритъм при основа 10. Тук имаме посочена степеннта на която трябва да повдгина 10 за да получа Х Степента на която трябва да повдигна 10 за да получа 3. След като направихме това, да видим кои свойства на логаритъма можем да използваме. Както знаем, посочените логаритми са при една и съща основа. Знаем също, че ако имаме логаритъм при основа А от В плюс логаритъм при основа А от С, това е същото като логаритъм при основа А от ВС. Да запишем всички свойства на логаритъма, които знаем. Нека да запиша на дъската, че това всъщност е логаритъм при основа А от С, което е равно на логаритъм при основа А от С на степен В. От посочените по-горе свойства директно получаваме че: логаритъм при основа А от В минус логаритъм при основа А от С прави логаритъм при основа А от В делено на С. Получваме това направо от двете свойства, посочени по-горе. Да видим какво можем да използваме. Припомням, че всички логаритми са при една и съща основа. Имаме логаритъм от Х плюс логаритъм от 3, и като приложим свойството за сбор от логаритми, които са с еднаква основа, получаваме логаритъм при основа 10 от 3 по Х от 3Х. Основавайки се на това свойство можем да препишем уравнението, и получаваме логаритъм при основа 10 от 4 на втора степен което е равно на 16. И остава да добавим минус логаритъм при основа 10 от 2. Използвайки последното свойство, което се отнася за изваждане на логаритми, получаваме логаритъм при основа 10 от 16 делено на 2. 16 делено на 2, е равно на 8. Дясната страна се опростява до логаритъм при основа 10 от 8, а от лявата страна имаме логаритъм при основа 10 от 3Х. Тогава, ако 10 на дадена степен е равно на 3Х, 10 на същата степен ще бъде равно на 8. Това означава, че 3Х трябва да е равно на 8. 3Х е равно на 8. Можем да разделим и двете страни на уравнението на 3. Получаваме, че Х е равно на 8 делено на 3. Както казах по-горе, можем да разгледаме това като експонента. Ако повдигна 10 на посочената експонента, получавам 3Х, 10 повдигнато на тази експонента дава 8. Това означава, че 8 и 3Х са равни. Друг начин да погледнем уравнението е: да повдигнем 10 на посочената степен и от двете страни на уравнението. Тогава повдигаме 10 на посочената степен и след това 10 на посочената тук степен. Ако повдигна 10 на степеннта, която трябва да използвам за 10, за да получа 3Х тогава остава само 3Х! Ако повдигна 10 на степеннта, която трябва да използвам за 10, за да получа 8 тогава остава само 8. Още веднъж получаваме, че 3Х е равно на 8. Опростяваме и получаваме че Х е равно на 8/3.