Основно съдържание
Алгебра (цялото съдържание)
Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 11
Урок 24: Свойства на логаритмите (Алгебра 2 ниво)- Въведение към свойства на логаритмите (1 от 2)
- Въведение към свойства на логаритмите (2 от 2)
- Въведение към свойства на логаритмите
- Използване на правилото за логаритмуване на произведение
- Използване на правилото за логаритмуване на степен
- Използвай свойствата на логаритмите
- Използване на свойствата на логаритмите за логаритмуване на израз
- Доказателство на правилото за логаритмуване на произведение
- Доказателство на правилата за логаритмуване на частно и на степен
- Доказване на свойствата на логаритмите
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Доказване на свойствата на логаритмите
Виж доказателствата на свойства на логаритмите: правило за логаритмуване на произведение, правило за логаритмуване на частно и правило за логаритмуване на степен.
В този урок ще докажем три свойства на логаритмите: правилата за логаритмуване на произведение, на частно и на степен. Преди да започнем, нека си припомним един полезен факт, който ще ни помогне:
С други думи, един логаритъм с основа ни дава обратното на степенуването с основа (действието логаритмуване е обратното на действието степенуване)!
Помни това, докато четеш следващите доказателства.
Правило за логаритмуване на произведение:
Нека започнем, като докажем един специфичен случай на правилото – случаят, когато , и .
Замествайки тези стойности в , виждаме:
Получаваме, че .
Това доказва един конкретен случай, но можем да следваме тази логика, за да докажем общото правило за логаритмуване на произведение.
Забележи, че представянето на и като степени на беше ключът към доказателството. Тоест, като цяло искаме и да са степени на основата . За да направим това, можем да положим и за някакви реални числа и .
Следователно, по дефиниция, вярно е също, че и .
Сега имаме:
Правило за логаритмуване на частно:
Доказателството на това свойство следва метод, който е подобен на използвания по-горе.
Отново, ако положим и , то следва, че и .
Сега можем да докажем правилото за логаритмуване на частно, както следва:
Правилото за логаритмуване на израз, повдигнат на степен:
Този път само е включено в свойството и затова е достатъчно да положим , което ни дава, че .
Доказателството за правилото за логаритмуване на степен е показано по-долу.
Можем да докажем това свойство и като използваме свойството за логаритмуване на произведение.
Знаем, че , където е умножено пъти по себе си.
Сега можем да използваме свойството за логаритмуване на произведение, заедно с дефиницията на умножението като многократно събиране, за да довършим доказателството. Това е показано по-долу.
Готово! Току-що доказахме трите свойства на логаритмите!
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.