Въведение към свойства на логаритмите (2 от 2)

Привет! Сега ще ти покажа последните две свойства на логаритмите. За първото... винаги съм мислел, че това по един или друг начин е най-ясното от всички. Но не се отчайвай, ако не ти е ясно. Може би ще ти е нужно малко да поразсъждаваш. Насърчавам те да експериментираш с всички тези свойства на логаритмите, защото само по този начин ще ги научиш. В математиката главното е не просто да се мине следващия изпит, или да се изкара шестица на изпита. Главното в математиката е да се разбере, за да може в крайна сметка да се прилага по-нататък в живота, без да се налага всеки път всичко да се учи наново. И така, следващото свойство на логаритмите е, ако имаме А пъти логаритъм от С с основа В, ако имаме А пъти по цялото това нещо, тогава това е равно на логаритъм от С на степен А с основа В. Удивително. Нека видим дали това върши работа. Ако имам три пъти по логаритъм от осем при основа две. Това свойство ни казва, че това ще е равно на логаритъм от осем при основа две на трета степен. А това е същото. Това ще е същото като...можем да го изчислим. Нека видим какво е това. Три пъти по логаритъм с основа... колко е логаритъм от осем при основа две? Причината да се поколебая преди малко е, че всеки път, когато искам да намеря нещо, някак вътре в себе си искам да използвам правилата на логаритмите и степените за целта. Така че се опитвам да избягвам това. Както и да е, да се върнем на задачата. Какво става тук? Две на коя степен дава осем? Две на трета степен е осем, нали така? Така че това дава 3. Имаме тази тройка тук, така че това е 3, умножено по 3. И това тук трябва да е равно на 9. Ако е равно на девет, тогава знаем, че това свойство важи поне за този пример. Човек не знае дали е така и при други примери, и затова може би ще искаш да видиш доказателството, което го има в другите клипове. Но това е един вид за напреднали. Важното е първо да се разбере как се използва. Нека видим, колко дава 2 на девета степен? Явно ще е някакво голямо число. Всъщност, знам кое е то – това е ... Миналия път намерихме, че 2 на осма степен е равно на 256. И 2 на девета степен е 512. А ако 8 на трета степен също прави 512, тогава сме го решили вярно, нали? Понеже log от 512 при основа 2 ще е равно на 9. А колко е 8 на трета степен? 8 на квадрат е 64, така че 8 на трета степен е... нека видим. Четири пъти по осем. Така, това е две и три. Шест пъти по осем – изглежда това е 512. Точно така. Има и други начини, по които можеше да го направим. Защото можеше да кажем, че 8 на трета степен е точно равно на 2 на девета степен. Откъде знаем това? 8 на трета степен е равно на 2 на трета степен, това цялото на трета степен, нали? Просто преобразувах 8. И от правилата за степенуване знаем, че 2 на трета степен, цялото на трета степен е същото като 2 на девета степен. И всъщност това е свойство на степените, където можем да умножаваме – когато повдигнем нещо на някаква степен, и повдигнатото го повдигнем на степен, можем само да умножим показателите – това е свойството на степен от степен, което всъщност отвежда към свойствата на логаритмите. Но в тази презентация няма да задълбавам толкова за това. Има цял един клип с по-подробно доказателство. Сега ще ти покажа следващото свойство на логаритмите – и след това ще преговорим всичко и може би ще решим някои примери. Вероятно това е най-полезното свойство на логаритмите, ако си пристрастен/а към калкулатора. Ще ти покажа защо. Да кажем, че имам log от А при основа В, равно на log от А при основа С, разделено на log от В при основа С. Защо това е едно полезно свойство за пристрастените към калкулатора? Да кажем, че отиваш в час и има контролно. Учителят казва, че можете да използвате калкулаторите си, и целта е да се изчисли log от 357 при основа 17. И ти ще се засуетиш, търсейки копчето log с основа 17 на калкулатора си, и не го намираш. Защото на калкулатора няма копче с log и основа 17. Вероятно ще има копче log или копче ln. И за да знаеш, само да ти кажа, че копчето log на калкулатора ти вероятно е с основа 10. А копчето ln на калкулатора ще е с основа е. Ако още не познаваш е, не се притеснявай за него, то е равно на около 2,71. То е число. Това е едно изумително число, но ще говорим за това в някое видео в бъдеще. Та на твоя калкулатор са налице само две основи. И ако искаш да намериш логаритъм с друга основа, ползваш това свойство. И ако на изпит ти дадат това, можеш да кажеш уверено: О, това си е същото като... ще трябва да превключиш на жълт цвят, за да действаш с увереност – log с основа – тя може да е или е, или 10. Можем да кажем, че това е същото като log от 357 при основа десет, разделено на log от 17 при основа 10. Така че може просто да изпишем 357 на калкулатора и да натиснем бутона log и ще получим дрън-дрън-дрън. И тогава, какво – можем да го изчистим, или ако знаем как да използваме кръглите скоби на калкулатора, можем да направим това. Но тогава изписваме 17 на калкулатора, натискаме копчето log, и получаваме дрън-дрън-дрън. След това го разделяме и получаваме нашия отговор. Така че това е едно доста полезно свойство за калкулаторните маниаци. И пак да кажа, че няма да навлизам в големи подробности. Това свойство за мен е най-полезно, но не напълно. Очевидно то не е сред свойствата на степените. Но да опиша по прост начин логиката за това ми е трудно, така че вероятно искаш да видиш доказателството, ако не вярваш защо се случва това. Но както и да е, всичко това вероятно ще използваш през по-голямата част от живота си. Аз все още го използвам в работата си. Просто знай, че логаритмите са полезни. Нека решим няколко примера. Нека само препишем няколко неща в по-проста форма. Ако искам да запиша log с основа две от квадратен корен от... нека помисля нещо. От 32, разделено на куба...не, ще е само квадратния корен. Разделено на квадратен корен от осем. Как мога да препиша това, за да не е разхвърляно? Нека помислим по въпроса. Това е същото, то е равно на... Не знам дали да се придвижа отвесно или хоризонтално. Нека е отвесно. Това е равно на log от 32 при основа 2 върху квадратния корен от 8 на степен 1/2, нали така? И от свойствата на логаритмите знаем, от третото свойство научихме, че това е равно на 1/2, умножено по логаритъм от 32, разделено на квадратен корен от 8, нали така? Взех само показателя и го направих коефициент на цялото това. Научихме това в началото на този клип. И сега тук имаме един малък коефициент, нали? Логаритъм от 32, разделено на логаритъм от квадратен корен от 8. Можем да използваме другия логаритъм – нека игнорираме това 1/2. Това ще е равно на, скоба, логаритъм – о, забравих основата. Логаритъм от 32 при основа 2 минус логаритъм... нали така? Понеже това е в коефициента. Минус логаритъм при основа 2 от квадратен корен от 8. Нали така? Нека видим. Още веднъж тук имаме квадратен корен, така че можем да кажем, че това е равно на 1/2, умножено по log от 32 при основа 2. Минус това 8 на степен 1/2, което е равно на 1/2 log от 8 при основа 2. Научихме това свойство в началото на това видео. И тогава ако искаме, можем да разкрием скобите и да умножим по 1/2. Това е равно на 1/2 log от 32 при основа 2 минус 1/4, защото трябва да умножим по 1/2, минус 1/4 log от 8 при основа 2. Това прави 5/2 минус, това е три. Три пъти, умножено по 1/4 минус 3/4. Или 10/4 минус 3/4 е равно на 7/4. Вероятно съм направил няколко аритметични грешки, но схващаш принципа. До скоро!