Решаване на показателни уравнения с логаритми

Ключът към решаването на уравнения със степени е използването на логаритмите! Нека погледнем по-отблизо и да решим няколко примера.

Реши $5\cdot 2^x=240$‍.

За да намерим $x$‍, първо трябва да отделим от едната страна на знака за равенство частта, съдържаща степен. За да направим това ще разделим двете страни на $5$‍ както е показано по-долу. Не умножаваме $5$‍ по $2$‍, защото това противоречи на реда на действията!

Сега можем да намерим $x$‍ като преобразуваме уравнението в логаритмичен вид.

$2^x=48$‍ е еквивалентно на ${\log }_2(48)=x$‍.

И така решихме уравнението! Точното решение е $x={\log }_2(48)$‍.

Понеже $48$‍ не е рационална степен на $2$‍, трябва да използваме правилото за смяна на основата и калкулаторите си, за да пресметнем логаритъма. Това е показано по-долу.

Приблизителното решение, закръглено до най-близката хилядна, е $x\approx \mathrm{5,585}$‍.

Да разгледаме друг пример. Реши $6\cdot {10}^{2x}=48$‍

Отново първо искаме от едната страна на знака за равенство да остане само частта, която съдържа степен, затова разделяме двете страни на $6$‍.

След това можем да свалим степенния показател като преобразуваме в логаритмичен вид.

Накрая можем да разделим двете страни на $2$‍, за да намерим стойността на $x$‍.

Това е точният отговор. За да закръглим отговора да най-близката хилядна, можем да запишем това директно в калкулатора. Забележи, че тук няма нужда да променяме основата, понеже това вече е с основа $10$‍.