Основно съдържание

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 7

Урок 14: Комбиниране на функции чрез аритметични действия

Въведение в комбинирането на функции

Запознай се с идеята че можем да събираме, изваждаме, умножаваме или делим две функции една с друга, за да образуваме нова функция.

Точно както можем да събираме, изваждаме, умножаваме и делим числа, така можем и да събираме, изваждаме, умножаваме и делим функции.

Сума на две функции

Част 1: Създаване на нова функция чрез събиране на две функции

Нека съберем

f (x) = x + 1

g (x) = 2 x

, за да създадем нова функция.

$\begin{aligned} f (x) + g (x) & = (x + 1) + (2 x) \\ = x + 1 + 2 x \\ = 3 x + 1 \end{aligned}$ ‍

Нека наречем тази нова функция

h

. И така получаваме:

$h (x) = f (x) + g (x) = 3 x + 1$ ‍

Част 2: Пресмятане на функции, комбинирани чрез аритметични действия

Можем също така да пресметнем получената функция за конкретни стойности на аргумента. Нека пресметнем функцията

h

за

x = 2

. По-долу са дадени двата начина да направим това.

Метод 1: Замести аргумента

x

с 2 в новата функцията

h

$\begin{aligned} h (x) & = 3 x + 1 \\ h (2) & = 3 (2) + 1 \\ = 7 \end{aligned}$ ‍

Метод 2 : Намери

f (2)

g (2)

и събери резултатите.

Тъй като

h (x) = f (x) + g (x)

, можем да пресметнем

h (2)

като

f (2) + g (2)

Първо, нека да намерим

f (2)

$\begin{aligned} f (x) & = x + 1 \\ f (2) & = 2 + 1 \\ = 3 \end{aligned}$ ‍

Сега нека да намерим

g (2)

$\begin{aligned} g (x) & = 2 x \\ g (2) & = 2 \cdot 2 \\ = 4 \end{aligned}$ ‍

Така

f (2) + g (2) = 3 + 4 = 7

Обърни внимание, че замествайки

x

с 2 директно във функцията

h

и пресмятайки

f (2) + g (2)

получихме еднакъв отговор.

Нека опитаме да решим няколко задачи.

В задача 1 и 2 нека

f (x) = 3 x + 2

g (x) = x - 3

Задача 1

Намери $f (x) + g (x)$ ‍.

Задача 2

Пресметни $f (- 1) + g (- 1)$ ‍ .

Ето няколко начина да откриеш отговора.

Метод 1: Намери

f (- 1)

g (- 1)

поотделно. След това ги събери.

Първо да пресметнем

f (- 1)

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ f (- 1) & = 3 (- 1) + 2 \\ = - 1 \end{aligned}$ ‍

А сега

g (- 1)

$\begin{aligned} g (x) & = x - 3 \\ g (- 1) & = - 1 - 3 \\ = - 4 \end{aligned}$ ‍

И така

f (- 1) + g (- 1) = - 1 + (- 4) = - 5

Метод 2: Първо намери

f (x) + g (x)

и след това оцени този израз при

x = 1

$\begin{aligned} f (x) + g (x) & = (3 x + 2) + (x - 3) \\ = 3 x + 2 + x - 3 \\ = 4 x - 1 \end{aligned}$ ‍

Когато

x = 1

, този израз е равен на

4 (- 1) - 1

или

- 5

Графично представяне

Можем да си обясним какво означава да съберем две функции като разгледаме графиките на функциите.

Графиките на функциите

y = m (x)

y = n (x)

са показани по-долу. Обърни внимание, че в първата графика

m (4) = 2

. Във втората графика

n (4) = 5

Нека

p (x) = m (x) + n (x)

. Сега разгледай графиката на функцията

y = p (x)

. Обърни внимание, че

p (4) = 2 + 5 = 7

Забележи, че

p (x) = m (x) + n (x)

за всяка стойност на

x

, когато разгледаме триете графики.

Да се упражним.

Задача 3

Графиките на функциите

y = f (x)

y = g (x)

са показани по-долу.

Koе е най-доброто приближение на $f (3) + g (3)$ ‍ ?

Други начини за комбиниране на функции чрез аритметични действия

Във всички примери дотук създаваме нова функция чрез събиране на две функции, но можем също да изваждаме, умножаваме и делим две функции, за да създадем нова функция!

Например, ако

f (x) = x + 3

g (x) = x - 2

, тогава освен сумата, можем също така да намерим...

... разликата.

\begin{aligned} f (x) - g (x) & = (x + 3) - (x - 2) Заместваме. \\ = x + 3 - x + 2 Разкриваме скобите. \\ = 5 Пресмятаме. \end{aligned}

... произведението.

\begin{aligned} f (x) \cdot g (x) & = (x + 3) (x - 2) Заместваме. \\ = x^{2} - 2 x + 3 x - 6 Разкриваме скобите. \\ = x^{2} + x - 6 Пресмятаме \end{aligned}

... частното .

\begin{aligned} f (x) : g (x) & = \frac{f (x)}{g (x)} \\ = \frac{(x + 3)}{(x - 2)} Заместваме. \end{aligned}

Така ние създадохме три нови функции!

Задача за самостоятелна работа

p (t) = t + 2

q (t) = t - 1

r (t) = t

Пресметни $p (3) \cdot q (3) \cdot r (3) - p (3)$ ‍.

Нека първо намерим

p (3)

q (3)

r (3)

, като заместим

t = 3

във всяка от формулите.

Нека пресметнем

p (3)

$\begin{aligned} p (t) & = t + 2 \\ p (3) & = 3 + 2 \\ = 5 \end{aligned}$ ‍

След това пресмятаме

q (3)

$\begin{aligned} q (t) & = t - 1 \\ q (3) & = 3 - 1 \\ = 2 \end{aligned}$ ‍

И накрая пресмятаме

r (3)

$\begin{aligned} r (t) & = t \\ r (3) & = 3 \\ = 3 \end{aligned}$ ‍

И така, сега можем да пресметнем

p (3) \cdot q (3) \cdot r (3) - p (3)

, както следва:

\begin{aligned} p (3) \cdot q (3) \cdot r (3) - p (3) & = 5 \cdot 2 \cdot 3 - 5 \\ = 30 - 5 \\ = 25 \end{aligned}

Можем също първо да пресметнем

p (t) \cdot q (t) \cdot r (t) - p (t)

и след това стойността на израза при

t = 3

. Това ще бъде по-сложно обаче, тъй като резултатът ще бъде многочлен от трета степен!

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.