If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 7

Урок 14: Комбиниране на функции чрез аритметични действия
Математика
Алгебра (цялото съдържание)
Функции
Комбиниране на функции чрез аритметични действия
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Умножение и деление на функции

Класна стая на Google
Виж как можем да умножим или разделим две функции, за да създадем нова функция.
Точно както умножаваме и делим числа, можем да умножаваме и делим функции. Например, ако имаме функциите f и g, можем да образуваме две нови функции: f, dot, g и start fraction, f, divided by, g, end fraction .

Умножение на две функции

Пример

Нека разгледаме един пример, за да видим как става това.
Като е дадено, че f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, minus, 3 и g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 1, намери left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis.

Решение

Най-трудната част от комбинирането на функции чрез аритметични действия е разбирането на означението. Какво означава left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis?
left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis просто означава да намерим произведението от f, left parenthesis, x, right parenthesis и g, left parenthesis, x, right parenthesis. На математически език това означава, че left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, g, left parenthesis, x, right parenthesis.
Сега това се превръща в позната задача.
(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)Дефинирай.=(2x−3)⋅(x+1)Замести.=2x2+2x−3x−3Разкрий скобите и умножи.=2x2−x−3Обедини подобните членове.\begin{aligned} (f\cdot g)(x) &= f(x)\cdot g(x)&\gray{\text{Дефинирай.}} \\\\ &= \left(2x-3\right)\cdot\left(x+1\right) &\gray{\text{Замести.}} \\\\ &= 2x^2+2x-3x-3&\gray{\text{Разкрий скобите и умножи.}} \\\\ &=2x^2-x-3&\gray{\text{Обедини подобните членове.}} \end{aligned}
Забележка: Опростихме резултата, за да получим по-хубав израз, но това не е необходимо.

Нека опитаме да решим няколко задачи за упражнение.

Задача 1
c(y)=3y−4d(y)=3−2y\begin{aligned} &c(y)=3y-4 \\\\ &d(y)=3-2y \end{aligned}
Намери колко е left parenthesis, c, dot, d, right parenthesis, left parenthesis, y, right parenthesis.

Задача 2
m(x)=x2−3xn(x)=x−5\begin{aligned} &m(x)=x^2-3x \\\\ &n(x)=x-5 \end{aligned}
Изчисли left parenthesis, m, dot, n, right parenthesis, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis.
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Деление на две функции

Делението на две функции става по подобен начин. Ето един пример.

Пример

h, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 2, n, minus, 1 and j, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, n, plus, 3.
Нека намерим колко е left parenthesis, start fraction, j, divided by, h, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, n, right parenthesis.

Решение

Според определението left parenthesis, start fraction, j, divided by, h, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start fraction, j, left parenthesis, n, right parenthesis, divided by, h, left parenthesis, n, right parenthesis, end fraction.
Сега можем да решим задачата.
(jh)(n)=j(n)h(n)Дефинирай.=n+32n−1Замести. \begin{aligned} \left(\dfrac{j}{h}\right)(n)&=\dfrac{j(n)}{h(n)}&\gray{\text{Дефинирай.}} \\\\ &= \dfrac{n+3}{2n-1}&\gray{\text{Замести. }} \end{aligned}
Две важни забележки, свързани с тази функция:
  1. Тази функция е опростена до настоящия си вид.
  2. Входящата стойност n, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction не е валидна входяща стойност за тази функция. Това е така, понеже 2, n, minus, 1, equals, 0 за n, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, а делението на 0 е недефинирано.

Нека опитаме да решим няколко задачи за упражнение

Задача 3
g(t)=t2−4h(t)=t+8\begin{aligned} &g(t)=t^2-4 \\\\ &h(t)=t+8 \end{aligned}
Намери left parenthesis, start fraction, g, divided by, h, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis.

Задача 4
p(r)=5r−2q(r)=r+2\begin{aligned} &p(r)=5r-2 \\\\ &q(r)=r+2 \end{aligned}
Изчисли колко е left parenthesis, start fraction, p, divided by, q, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 4, right parenthesis.
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача 5
f(x)=x+4g(x)=x−3\begin{aligned} &f(x)=x+4 \\\\ &g(x)=x-3 \end{aligned}
За коя стойност на x функцията left parenthesis, start fraction, f, divided by, g, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis е неопределена?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Приложение

Разстоянието и времето, което Джордан бяга всеки ден, зависят от часовете h, които тя работи. Разстоянието D в мили и времето T в минути, което тя бяга, са дадени чрез функциите D, left parenthesis, h, right parenthesis, equals, minus, 0, comma, 5, h, plus, 8, comma, 5 и съответно T, left parenthesis, h, right parenthesis, equals, minus, 6, h, plus, 90.
Нека функция S представя средната скорост, с която Джордан бяга през даден ден, в който работи в продължение на h часа.
Задача 6
Кой от следните изрази вярно определя функция S?
Избери един отговор:

Задача с повишена трудност
Графиките на y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis и y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis са показани в координатната система по-долу.
Коя е графиката на y, equals, left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis?
Избери един отговор:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.