If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 7

Урок 15: Създаване на функции (Алгебра 2 ниво)
Математика
Алгебра (цялото съдържание)
Функции
Създаване на функции (Алгебра 2 ниво)
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Съставяне на функция от функция

Класна стая на Google
Разглеждане на задачи с примери, обяснения и упражнения, за да научиш как да намираш и изчисляваш сложни съставни функции.
Като са дадени две функции, можем да ги комбинираме по такъв начин, че изходящите стойностите на едната функция да станат аргументи на другата. По този начин получаваме сложна функция или функция от функция. Нека видим какво означава това!

Изчисляване на сложни функции

Пример

Ако f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 и g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2, тогава колко е f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis?

Решение

Единият начин да изчислим колко е f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, е да започнем "отвътре навън". Казано по друг начин, нека изчислим първо колко е g, left parenthesis, 3, right parenthesis и след това да заместим с този резултат в f, за да намерим отговора.
Нека изчислим колко е g, left parenthesis, 3, right parenthesis.
g(x)=x3+2g(3)=(3)3+2                   Заместваме x=3.=29\begin{aligned}g(x)&=x^3+2\\\\ g(3)&=({3})^3 +2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Заместваме }x={3.}}}\\\\ &={29}\end{aligned}
Тъй като g, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 29, тогава f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 29, right parenthesis.
Нека сега изчислим колко е f, left parenthesis, 29, right parenthesis.
f(x)=3x−1f(29)=3(29)−1               Заместваме x=29.=86\begin{aligned}f(x)&=3x-1\\\\ f( {{29}})&=3({29}) - 1~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Заместваме }x= {29.}}}\\\\ &={86}\\\\ \end{aligned}
От това следва, че f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 29, right parenthesis, equals, 86.

Намиране на сложната функция

В горния пример функция g отнесе 3 до 29 и след това функция f отнесе 29 до 86. Нека намерим функцията, която отнася 3 директно до 86.
За да го направим, трябва да комбинираме двете функции и да намерим f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.

Пример

Колко е f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis?
Като препратка, припомни си, че f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 и g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2.

Решение

Ако разгледаме примера f, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, виждаме, че start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c е аргументът на функция f. Следователно нека заместим с start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c навсякъде, където видим start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 във функция f.
f(x)=3x−1f(g(x))=3(g(x))−1\begin{aligned}f(\blueE x)&=3\blueE x-1\\\\ f(\maroonD{g(x)}) &= 3(\maroonD{g(x)})-1 \\ \end{aligned}
Тъй като g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2, можем да заместим с x, cubed, plus, 2 за g, left parenthesis, x, right parenthesis.
f(g(x))=3(g(x))−1=3(x3+2)−1=3x3+6−1=3x3+5\begin{aligned}{f(g(x))}&=3(g(x))-1 \\\\ &=3({x^3+2})-1 \\\\ &=3x^3+6-1\\\\ &=3x^3+5 \end{aligned}
Тази нова функция би трябвало да отнесе 3 директно до 86. Нека го проверим.
f(g(x))=3x3+5f(g(3))=3(3)3+5=86\begin{aligned} f( g(x))&= 3x^3+5\\ \\ f( g( 3))&= 3( 3)^3+5 \\\\ &= {86} \end{aligned}
Чудесно!

Да се упражним

Задача 1

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2
Изчисли колко е g, left parenthesis, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, right parenthesis.
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача 2

m, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 2
n, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 4
Намери колко е m, left parenthesis, n, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.

Сложни функции: формално определение

В горния пример намерихме и изчислихме една сложна функция.
Като цяло, за да отбележим, че f е функция от функцията g, можем да напишем f, circle, g, което се чете като "f суперпозиция на g". Това се определя от следното правило:
left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
Диаграмата по-долу показва връзката между left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis и f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
Нека сега разгледаме друг пример, като имаме предвид това ново определение.

Пример

g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 4
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 2, x
Намери left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis и left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis.

Решение

Можем да намерим left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis по следния начин:
(h∘g)(x)=h(g(x))Определяме.=(g(x))2−2(g(x))Заместваме с g(x) за x във функция h.=(x+4)2−2(x+4)Заместваме с x+4 за g(x).=x2+8x+16−2x−8Разкриваме скобите и умножаваме.=x2+6x+8Обединяваме подобните членове.\begin{aligned}(h\circ g)(x)&=h(g(x))&\small{\gray{\text{Определяме.}}}\\\\ &=(g(x))^2-2(g(x))&\small{\gray{\text{Заместваме с } g(x) \text{ за } x\text{ във функция }h.}}\\\\ &=({x+4})^2 -2({x+4})&\small{\gray{\text{Заместваме с } x+4 \text{ за } g(x).}}\\\\ &=x^2+8x+16-2x-8&\small{\gray{\text{Разкриваме скобите и умножаваме.}}}\\\\ &=x^2+6x+8&\small{\gray{\text{Обединяваме подобните членове.}}}\end{aligned}
Тъй като сега имаме функция h, circle, g, можем просто да заместим с minus, 2 за x, за да намерим left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis.
(h∘g)(x)=x2+6x+8(h∘g)(−2)=(−2)2+6(−2)+8=4−12+8=0\begin{aligned}(h\circ g)(x)&=x^2+6x+8\\\\ (h\circ g)(-2)&=(-2)^2+6(-2)+8\\\\ &=4-12+8\\\\ &=0\\\\ \end{aligned}
Разбира се, можем също да намерим left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, като изчислим h, left parenthesis, g, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis. Това е показано по-долу:
(h∘g)(−2)=h(g(−2))=h(2)        Тъй като g(−2)=−2+4=2=0             Тъй като h(2)=22−2(2)=0\begin{aligned}(h\circ g)(-2)&=h(g(-2))\\\\ &=h(2)~~~~~~~~\small{\gray{\text{Тъй като }g(-2)=-2+4=2}}\\\\ &=0~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Тъй като }h(2)=2^2-2(2)=0}}\\\\ \end{aligned}
Диаграмата по-долу показва как left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis е свързана с h, left parenthesis, g, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis.
Тук виждаме, че функция g отнася minus, 2 до 2 и след това функция h отнася 2 до 0, докато функция h, circle, g отнася minus, 2 директно до 0.

Нека сега се упражним с няколко задачи

Задача 3

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 5
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, minus, 2, x
Изчисли left parenthesis, g, circle, f, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

В задачи 4 и 5 нека f, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, minus, 2 и g, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, squared, plus, 5.

Задача 4

Намери колко е left parenthesis, g, circle, f, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis.

Задача 5

Намери left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis.

Задача за самостоятелна работа

Графиките на уравненията y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis и y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis са показани в квадратната система по-долу.
Кой от следните изрази дава най-близката стойност на left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, 8, right parenthesis?
Избери един отговор:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.