Основно съдържание

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 7

Урок 15: Създаване на функции (Алгебра 2 ниво)

Въведение към сложни функции

Научи защо използваме функция от функция с помощта на един пример за земеделие.

Кам е фермер. Всяка година той засява и отглежда царевица. Функцията по-долу ни дава количеството царевица

С

в килограми (kg), която той очаква да отгледа, ако засее

а

акъра земя.

$C (a) = 7500 a - 1500$ ‍

Например, ако Кам засее два акра, той очаква да произведе

С (2) = 7500 (2) - 1500 = 13 500

кг

царевица.

Кам иска да знае колко пари ще спечели от продажбата на царевицата. Затова той използва следната функция, за да предскаже сумата

М

в долари, която ще получи от продажбата на

с

килограма царевица.

$M (c) = 0, 9 c - 50$ ‍

Ако Кам произведе

13 500 кг

царевица, може да очаква приходи от

M (13 500) = 0, 9 (13 500) - 50 = 12 100

Забележи, че Кам трябва да използва две отделни функции, за да изчисли очакваните приходи от засетите акри. Първата функция

С

преобръща акри в царевица, докато втората функция

М

преобръща количеството царевица в пари.

Нямаше ли да е чудесно, ако Кам можеше да състави функция, която да преобърне засети акри директно в очаквани приходи?

Съставяне на нова функция

Можем да намерим функцията, която преобръща засети акри директно в очаквани приходи! За да намерим тази нова функция, нека помислим за най-основния въпрос: колко пари очаква Кам да получи, ако засее царевица на

а

акъра земя?

Ако Кам засади царевица на

a

акра, той очаква да произведе

C (a)

килограма царевица. Ако произведе

C (a)

килограма царевица, той очаква да получи

M (C (a))

долара.

За да намерим общо правило, което преобръща

а

акри директно в очаквани приходи, можем да намерим израза

М (С (а))

Но как да направим това? Забележи, че в израза

M (C (a))

входящата стойност на функция

М

C (a)

. Тоест, за да намерим този израз, можем да заместим

C (a)

за

c

във функция

М

$\begin{aligned} M (c) & = 0, 9 c - 50 \\ M (C (a)) & = 0, 9 (C (a)) - 50 \\ = 0, 9 (7500 a - 1500) - 50 След като C (a) = 7500 a - 1500 \\ = 6750 a - 1350 - 50 \\ = 6750 a - 1400 \end{aligned}$ ‍

Тоест, функцията

M (C (a)) = 6750 a - 1400

преобръща засети акри директно в очаквани приходи. Нека използваме тази нова функция, за да предвидим сумата пари, които Кам може да получи от засяването на два акра царевица.

$M (C (2)) = 6750 (2) - 1400 = 12 100$ ‍ долара

Кам може да очаква да получи

12 100

долара от засяването на два акра царевица, което съответства на предишните ни стойности!

Дефиниране на съставни (сложни) функции

Това, което току-що намерихме, се нарича съставна (сложна) функция. Вместо да заместваме засети акри във функцията за царевицата и след това да заместваме количеството произведена царевица във функцията за приходите, открихме функция, която превръща засетите акри директно в очаквани приходи.

Направихме това като заместихме

С (а)

във функция

М

или като намерихме

М (С (а))

. Нека наречем тази нова функция

M \circ C

, което се чете като "

М

е съставена с

С

Сега знаем, че

(M \circ C) (a) = M (C (a))

. Това всъщност е приетото определение за съставна функция!

Визуализиране на двата метода

Ето визуално представяне, което да ни помогне да интерпретираме горното определение.

Като използваме двете функции

С

М

, функцията

С

– функцията за царевицата – превръща два акра в 13 500 килограма царевица. После функцията

М

– функцията за парите – превръща 13 500 килограма царевица в 12 100 долара.

Използвайки съставната функция, виждаме, че функцията

M \circ C

превръща два акра директно в 12 100 долара.

Двете са еквивалентни!

Нека се упражним с няколко задачи.

Задача 1

С помощта на функциите, представени в примера, какви приходи може да очаква Кам, ако продаде всичката царевица, произведена на 1,5 акра?

За справки: $C (a) = 7500 a - 1500$ ‍, $M (c) = 0, 9 c - 50$ ‍ и $M (C (a)) = 6750 a - 1400$ ‍

долара

След като току-що конструирахме съставна функция, която преобръща засети акри директно в очаквани приходи, нека я използваме, за да отговорим на въпроса.

Знаем, че

M (C (a)) = 6750 a - 1400

. Можем да намерим колко очаква да получи Кам, ако засее 1,5 акра царевица, като заместим

а

с 1,5 в горната формула.

$\begin{aligned} M (C (a)) & = 6750 a - 1400 \\ M (C (1, 5)) & = 6750 (1, 5) - 1400 \\ = 8725 \end{aligned}$ ‍

Кам може да очаква да получи

8725

долара като продаде царевицата, произведена на 1,5 акра земя.

Алтернативно можем да използваме и функция

С

, за да преобърнем акри в царевица и после функция

М

, за да преобърнем царевица в пари; но след като вече имаме съставната функция, е по-ефикасно да използваме нея!

Задача 2

Бен отглежда картофи. Функцията

P (a) = 25 000 a - 1000

дава количеството картофи

Р

в килограми, които той очаква да произведе от засяването на

а

акра земя. Функцията

M (p) = 0, 2 p - 200

дава сумата

М

в долари, която Бен очаква да получи, ако произведе

р

килограма картофи.

Колко пари може да очаква да получи Бен, ако продаде всички картофи, произведени на 3 акра?

Един начин да пресметнем това е да заместим количеството засети акри във функцията за картофите, за да намерим количеството произведени картофи. После можем да заместим полученото число във функцията за парите. Нека направим това.

Нека първо намерим

Р (3)

$\begin{aligned} P (3) & = 25 000 (3) - 1000 \\ = 74 000 \end{aligned}$ ‍

Нека сега намерим

M (74 000)

$\begin{aligned} M (74 000) & = 0, 2 (74 000) - 200 \\ = 14 600 \end{aligned}$ ‍

Алтернативно можем да намерим съставната функция и после да заместим три акра в тази функция. Това е показано по-долу.

$\begin{aligned} M (P (a)) & = 0, 2 (P (a)) - 200 \\ = 0, 2 (25 000 a - 1000) - 200 \\ = 5000 a - 200 - 200 \\ = 5000 a - 400 \\ M (P (3)) & = 5000 (3) - 400 \\ = 14 600 \end{aligned}$ ‍

И в двата случая виждаме, че Бен може да очаква да получи

14 600

долара, ако продаде всички картофи, произведени на 3 акра земя.

Задача 3

Кой от следните изрази дава сумата пари, които очаква да получи Бен, ако засее картофи на $а$ ‍ акра земя?

За да намерим общо правило, което преобръща

а

акра директно в очаквани приходи, можем да намерим израза

М (Р (а))

За да намерим този израз, можем да заместим

Р (а)

вместо

р

във функцията

М

$\begin{aligned} M (p) & = 0, 2 p - 200 \\ M (P (a)) & = 0, 2 (P (a)) - 200 \\ = 0, 2 (25 000 a - 1000) - 200 След като P (a) = 25,000 a - 1000 \\ = 5000 a - 200 - 200 \\ = 5000 a - 400 \end{aligned}$ ‍

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.