If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 7

Урок 19: Въведение към обратни функции (Алгебра 2 ниво)
Математика
Алгебра (цялото съдържание)
Функции
Въведение към обратни функции (Алгебра 2 ниво)
© 2024 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Въведение в обратните функции

Класна стая на Google
Научи каква е обратната на дадена функция и как да изчислим обратните на функции, които са дадени в таблици или графики.
Обратните функции в най-общ смисъл са функции, които "се обръщат" една друга.
Тук например виждаме, че функция f отнася 1 до x, 2 до z и 3 до y.
Обратната функция на f, която означаваме с f−1 (и се чете като "обратната на f"), ще обърне това нанасяне на точките. Функция f−1 отнася x до 1, y до 3 и z до 2.
Задача за размисъл
Кое от следните е вярно твърдение?
Избери един отговор:

Определяне на обратни функции

Като цяло ако функция f отнася a до b, то тогава обратната функция f−1 отнася b до a.
От тук получаваме официалното определение за обратни функции:

f(a)=b⟺f−1(b)=a

Нека разгледаме по-подробно това определение, като решим няколко примера.

Пример 1: Съпоставителна диаграма

Нека приемем, че функция h е определена чрез съпоставителната диаграма по-горе. Колко е h−1(9)?

Решение

Дадена ни е информация за функция h и ни е зададен въпрос за функция h−1. Тъй като обратните функции се обръщат взаимно, трябва да обърнем на обратно разсъжденията си.
По-конкретно за да намерим функция h−1(9), можем да намерим аргумента на h, който съответства на стойността на функцията 9. Това е така, защото ако h−1(9)=x, то тогава според определението за обратни функции h(x)=9.
От съпоставителната диаграма виждаме, че h(6)=9, така че h−1(9)=6.

Провери знанията си

Задача 1
g−1(3)=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Пример 2: Графика

Това е графиката на функция g. Нека намерим колко е g−1(−7).

Решение

За да намерим g−1(−7), можем да намерим аргумента на g, който съответства на стойност на функцията −7. Това е така, защото ако g−1(−7)=x, тогава според определението за обратни функции g(x)=−7.
Виждаме от графиката, че g(−3)=−7.
Следователно g−1(−7)=−3.

Провери знанията си

Задача 2
Колко е h−1(4)?
Избери един отговор:

Задача с повишена трудност
Като е дадено, че f(x)=3x−2, колко е f−1(7)?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Графично изобразяване

Примерите по-горе ни показаха връзката между дадена функция и нейната обратна, но има също и графична връзка между тях!
Разгледай функция f, която е дадена на графиката и в таблица със стойности.
   xf(x)
−214
−112
   0   1
   1   2
   2   4
Можем да обърнем аргументите и стойностите на функция f, за да намерим аргументите и стойностите на функция f−1. Следователно ако имаме точката (a;b) на графиката на y=f(x), тогава точката (b;a) ще бъде на графиката на y=f−1(x).
Това ни дава следната графика и таблица със стойности за f−1.
   xf−1(x)
14−2
12−1
   1   0
   2   1
   4   2
Гледайки двете графики заедно, виждаме, че графиката на y=f(x) и тази на y=f−1(x) са отразени през правата y=x.
Това бъде така като цяло; графиката на дадена функция и нейната обратна са отражения през правата y=x.

Провери знанията си

Задача 3
Това е графиката на y=h(x).
Кой е най-добрият избор за графиката на функция y=h−1(x)?
Избери един отговор:

Задача 4
Графиката на y=h(x) е отсечката, свързваща точките (5,1) и (2,7).
Придърпай крайните точки на плътната отсечка по-долу, за да начертаеш графиката на y=h−1(x).

Защо това изследване е обратимо?

Може да изглежда своеволно да сме заинтересовани от обратните функции, но всъщност ги използваме постоянно!
Помисли за това, че уравнението C=59(F−32) може да бъде използвано, за да превърнем температурата от градуси по Фаренхайт, F, в температура в градуси по Целзий, C.
Но да предположим, че искахме уравнение, което дава обратното – което превръща температурата от градуси по Целзий в температура с градуси по Фаренхайт. Това описва функцията F=95C+32 или обратната функция.
На по-просто ниво решаваме много уравнения чрез математически изчисления, като "изолираме променливата". Когато изолираме променливата от едната страна, ние "връщаме обратно" това, което е около нея. По този начин използваме идеята за обратни функции, за да решим уравненията.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.