Въведение към обратими функции

Обратните функции в най-общ смисъл са функции, които "се обръщат" една друга. Например ако $f$f отнася $a$a до $b$b, то тогава обратната функция $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript трябва да отнася $b$b до $a$a.

Разгледай крайната функция $h$h, определена от следната таблица.

Можем да създадем съпоставителна диаграма за функция $h$h.

Сега нека обърнем съпоставителната диаграма, за да намерим обратната функция $h^{-1}$h, start superscript, minus, 1, end superscript.

Обърни внимание тук, че $h^{-1}$h, start superscript, minus, 1, end superscript нанася аргумента $2$2 в две различни стойности на функцията: $1$1 и $3$3. Това означава, че $h^{-1}$h, start superscript, minus, 1, end superscript не е функция.

Тъй като обратната на $h$h не е функция, казваме, че $h$h не е обратима.

Като цяло дадена функция е обратима, само ако за всеки аргумент има една единствена стойност на функцията. Всяка стойност на функцията е в двойка с точно един аргумент. По този начин, когато съпоставянето се обърне, то също ще бъде функция!

Ето един пример за обратима функция $g$g. Забележи, че обратната е наистина функция.

Разгледай графиката на функцията $y=x^2$y, equals, x, squared.

Знаем, че дадена функция е обратима, ако за всеки аргумент има една единствена стойност на функцията. Или казано по друг начин, ако всяка стойност на функцията е в двойка с точно един аргумент.

Но това не е така за $y=x^2$y, equals, x, squared.

Вземи например стойността $4$4. Забележи, че като начертаем правата $y=4$y, equals, 4, виждаме, че има два аргумента, $2$2 и $-2$minus, 2, които са свързани със стойността на функцията $4$4.

Всъщност ако плъзнеш хоризонталната права нагоре и надолу, ще видиш, че повечето стойности на функцията са свързани с два аргумента! Следователно функцията $y=x^2$y, equals, x, squared не е обратима функция.

За разлика от това разгледай функцията $y=x^3$y, equals, x, cubed.

Ако вземем една хоризонтална права и я плъзнем нагоре и надолу по графиката, тя ще пресича функцията само на едно място!

Това означава, че всяка стойност на функцията съответства точно на един аргумент. С други думи за всеки аргумент има една единствена стойност. Функцията $y=x^3$y, equals, x, cubed е обратима.

Логиката, използвана по-горе, описва това, което наричаме Правило за хоризонталната права: Като цяло, дадена функция $f$f е обратима, ако отговаря на правилото за хоризонталната права.